Властивість кола, якій належать вершини трикутника
Описана окружність, яка залежить від довжин сторін при основі, має свої властивості. Зазначимо властивості описаної окружності:
- Центр описаного кола для прямокутного трикутника знаходиться на середині гіпотенузи, у гострого – всередині самого трикутника, а для тупоугольного – за її межами.
- Діаметр будь описаної дкр-сті дорівнює половині відносини боку і синуса кута, який належить їй, у вигляді формули можна представити наступним чином:
- Знаючи радіус описаної окружності і значення кутів, можна знайти значення площі, не вдаючись до використання довжин сторін, за наступною формулою:
Для того щоб більш наочно зрозуміти принцип описаної окружності, вирішимо просту задачу. Припустимо, що даний трикутник Δ ABC, сторони якого дорівнюють 10, 15 і 8,5 див. Радіус описаної окружності близько трикутника (FB) становить 7,9 див. Знайти значення градусної заходів кожного кута і через них площа трикутника.
Малюнок 2. Пошук радіусу кола через відношення сторін і синусів кутів
Рішення: спираючись на раніше наведену теорему синусів, знайдемо значення синуса кожного кута окремо. За умовою відомо, що сторона АВ дорівнює 10 див. Обчислимо значення:
Використовуючи значення таблиці Брадіса, дізнаємося, що градусна міра кута дорівнює 39°. Таким же методом знайдемо й інші заходи кутів:
Звідки дізнаємося, що CAB = 33°, а ABC = 108°. Тепер, знаючи значення синусів кожного з кутів і радіус, знайдемо площу, підставляючи знайдені значення:
Відповідь: площа трикутника дорівнює 40,31 см2, а кути дорівнюють відповідно 33°, 108° і 39°.
Важливо! Вирішуючи завдання подібного плану, буде незайвим завжди мати таблиці Брадіса або відповідний додаток на смартфоні, так як вручну процес може затягнутися на тривалий час. Також для більшої економії часу не вимагається обов’язково будувати всі три середини перпендикуляра або три бісектриси. Кожна третя з них завжди буде перетинатися в точці перетину двох перших. А для ортодоксального побудови зазвичай третю домальовують. Може, це неправильно в питанні алгоритму, але на ЄДІ або інших іспитах це здорово економить час.
