Як з неправильного дробу легко зробити правильну: правило скорочень і дій зі звичайними і змішаними дробами

Величезний блок математики присвячений роботі з дробами або нецілими числами. З ними дуже часто зустрічаються і в житті, тому знати, як працювати з такими цифрами важливо для будь-якої людини. Математика – це наука, в якій учень починає з пізнання простих речей і дій, а потім переходить до більш складним.

Знання та вміння працювати з подібними цифрами полегшить йому надалі роботу з логарифмами, раціональними показниками та інтегралами. З такими числами можна робити все те ж саме, що і з звичайними: додавати дроби, ділити, віднімати і множити. Крім цього, їх можна скорочувати. Працювати з дробами просто, головне – це знати основні правила і методи їх обчислення.

Основні поняття

Для того, щоб зрозуміти, що це за таке значення, необхідно уявити собі цілий предмет. Припустимо, що є торт, який порізали на кілька однакових або рівних шматків. Кожен шматочок буде називатися часток.

Важливо! У випадку з дробами, є якесь ціле число, яке складається з рівних часток – окремих менших чисел.

Наприклад, 10 складається з 5 двійок, кожна двійка – це частина від десяти.

Частки мають свої назви, залежно від їх загальної кількості в цілому числі: 10 може складатися з двох п’ятірок або п’яти двійок, в першому випадку вона буде називатися (одна друга), а у другому — (одна п’ята). Слід пам’ятати, що дорівнює половині кількості, (одна третя) — третини, а (одна четверта) – чвертю. Їх можуть зображувати через рисочку: ½, 1/3 або 1/5.

Цифру, написану зверху горизонтальної лінії або зліва від похилої, називають чисельником – він показує скільки часток взяли у цілого числа, а цифра під лінії або праворуч від неї – знаменник, він показує на скільки всього часткою розділили. Наприклад, торт розділили на 10 шматків і відразу відклали два з них для тих, хто запізнився гостей. Це буде 2/10 (дві десятих), тобто взяли 2 (чисельник) шматка від загальних 10 (знаменник).

Дроби

Які бувають частки, що таке неправильна дріб, що така звичайна дріб? На ці питання легко відповісти:

1. Звичайна – це така, в якому чисельник та знаменник є натуральними числами і записуються так: або m/n;
2. Правильна дріб – це така, яка за своєю величиною менше одиниці, а чисельник менше знаменника: 5/7 (п’ять сьомих), 3/5 (три п’ятих);
3. Неправильна – це така, яка більше або дорівнює одиниці, а знаменник менше або дорівнює числителю: 7/5 (сім п’яте) або 19/3 (дев’ятнадцять третіх);
4. Змішана – це складається з цілого і частки: 2 (дві цілих три п’ятих) або 5 (п’ять цілих шість дванадцятих) .

Змішана цифра завжди може трансформуватися в неправильний дріб і навпаки.

Головна властивість говорить: при множенні, а також поділу діленого і дільника на однаковий множник, у цілому величина дробу не зміниться. Ця властивість робить можливим всі операції з дробами.

Як з неправильного дробу зробити правильну

Як скоротити?

Головне правило говорить, що часткову цифру можна скоротити поділити чисельник і знаменник на однаковий дільник , відмінний від 0) так, щоб вийшла нова цифра з меншими параметрами, але рівна вихідної за величиною. Виходячи з цього правила можна зрозуміти, що дробу бувають скоротливі і несократимые.

Приклад скорочення дробів: 8/24 скоротимо, поділивши її параметри на 2. Отримаємо: 8:2=4 і 24:2=12. В результаті, вихідна цифра перетвориться в 4/12 . Можна повторити операцію, знову поділивши числа: 4:2=2 і 12:2=6. Отримаємо 2/6. Ще раз повторимо операцію: 2:2=1 і 6:2=3. У підсумку вийде несократимая цифра 1/3, оскільки її параметри вже не можна розділити на однаковий дільник. Будь сократимое число можна привести до несократимому.

Важливо ! Якщо ділене або дільник представлені виразом (спочатку кожне з виразів потрібно помножити на один множник і дріб перетворити в просте, скоротивши на цей множник вираз: .

Скорочувати можна при множенні дробових виразів один на одного: *. Самі по собі ці числа несократимые, але виконуючи операцію множення, можна скоротити їх по діагоналі: * = =. Скорочувати при множенні можна тільки хрест-навхрест: чисельник першої зі знаменником другий, і навпаки.

Скорочувати можна і змішану цифру, тобто цілу частину і правильну дріб можна представити у вигляді неправильної. Для цього слід виконати деякі дії:

1. Маючи 5, перетворимо його в неправильний дріб. Для цього знаменник перемножимо з його цілою частиною і приплюсуємо до отриманої цифри чисельник: 5*9+1=46;
2. Сума стане чисельником неправильної частки, а його низ запозичимо від початкової;
3. В результаті отримуємо: .

Справедливо і зворотне дію: з неправильного дробу зробити змішану. Для цього розглянемо зворотну дію з :

1. Розділимо між собою верх і низ: 46:9=5,111111111111111;
2. Цілий результат ділення стане повною цифрою, а нескінченний залишок – верхи частки;
3. Знаменник при цьому залишиться незміненим;
4. Отримуємо 5.

Таким способом скорочувати дроби при будь-яких операціях можливо. Можна скорочувати значення її діленого і дільника при множенні їх на однаковий множник, і перетворюючи із змішаного числа частку, і навпаки.

Скорочення дробів

Можливі дії

Всі основні види обчислень доступні при рахунку часток, як і з цілими числами: додавання, віднімання та інші. Розглянемо кожну дію окремо з прикладами:

Додавання і віднімання

Складати частки можна двома шляхами, в залежності від їх дільника. Вони бувають однаковими і різними. Розглянемо приклад складання часток з однаковими дільниками.

Для вирішення + необхідно окремо скласти ділене часток, а дільник не чіпати: 1+1. Результатом стане цифра , але оскільки вона неправильна, то її можна перетворити в змішану, розділивши ділене на дільник: 2:2= 1. Неправильну частку завжди (!) слід приводити до правильної і несокращаемой, тобто якщо її ділене і дільник можна поділити на однаковий множник – це слід зробити обов’язково.

У разі складання часток з різними дільниками, їх необхідно спочатку привести до однакового. Наприклад, для вирішення : необхідно:

1. Знайти найменше спільне кратне (НСК) для дільників. Тут у дільників 2 і 3 меншу кратне – 6.
2. НОК спочатку ділять на перший дільник, а потім на другий: 6:3=2 і 6:3=2. В даному випадку отримані 2 і 3 – це перший і другий додаткові множники.
3. Кожний доданок початкового прикладу помножити на знайдені множники: + = + .
4. Далі складаємо частки: .
5. Перетворимо: 1.

Віднімання здійснюється точно так само: у випадку з однаковими дільниками їх не чіпаємо, а чисельники послідовно віднімаємо: — = = . Якщо ж різні знаменники, то слід вчинити, як і при додаванні: знайти НОК, множники, помножити частки, а потім відняти вже частки з однаковими дільниками.

Додавання дробів

Множення і ділення

При множенні необхідно послідовно перемножити їх верх і низ між собою: = оскільки є можливість скорочення на 6. У разі поділу все дещо складніше.

Для поділу слід:

1. Помножити перший множник на частку, зворотний другий, тобто ;
2. Далі діє правило множення: = = , оскільки початковий результат можна скоротити на 2.

Важливо! Поділ завжди можна замінити множенням, але тільки при дотриманні умови заміни дільника на протилежне йому число.

Переклад мішаного числа у неправильний дріб

Виділення цілої частини з неправильного дробу

Щоб правильно вирішувати подібні приклади, слід запам’ятати головне властивість і правила скорочення. Що стосується операцій, то важливо знати, як правильно складати і множити при однакових і різних знаменателях, оскільки діляться і віднімаються вони за однаковим принципом.