Як в евклідової геометрії точка і пряма — головні елементи теорії площин, так і паралелограм є однією з ключових фігур опуклих чотирикутників. З нього, як нитки з клубка, течуть поняття «прямокутника», «квадрата», «ромби» і інших геометричних величин.
Визначення паралелограма
Опуклий чотирикутник, що складається з відрізків, кожна пара з яких паралельна, відомий в геометрії як паралелограм.
Як виглядає класичний паралелограм зображує чотирикутник ABCD. Сторони називаються підставами (AB, BC, CD і AD), перпендикуляр, проведений з будь-якої вершини на протилежну цій вершині бік, — висотою (BE і BF), лінії AC і BD — діагоналями.
 |
 |
Увага! Квадрат, ромб і прямокутник — це окремі випадки паралелограма.
Сторони і кути: особливості співвідношення
Ключові властивості, за великим рахунком, зумовлені самим позначенням, їх доводить теорему. Ці характеристики наступні:
- Сторони, які є протилежними, — попарно однакові.
- Кути, розташовані протилежно один одному — попарно рівні.
Доказ: розглянемо ∆ABC і ∆ADC, які утворюються внаслідок поділу чотирикутника ABCD прямої AC. ∠BCA=∠CAD і ∠BAC=∠ACD, оскільки AC для них загальна (вертикальні кути для BC||AD і AB||CD, відповідно). З цього випливає: ∆ABC = ∆ADC (друга ознака рівності трикутників).
Відрізки AB і BC у ∆ABC попарно відповідають лініям CD і AD в ∆ADC, що означає їх тотожність: AB = CD, BC = AD. Таким чином, ∠B відповідає ∠D і вони рівні. Оскільки ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, які так само попарно однакові, то ∠A = ∠C. Властивість доведено.
Характеристики діагоналей фігури
Основний ознака цих ліній паралелограма: точка перетину поділяє їх навпіл.
Доказ: нехай т. Е — це точка перетину діагоналей AC і BD фігури ABCD. Вони утворюють два сумірних трикутника — ∆ABE і ∆CDE.
AB=CD, так як вони протилежні. Згідно з правилом паралельних прямих і січній, ∠ABE = ∠CDE і ∠BAE = ∠DCE.
За другою ознакою рівності ∆ABE = ∆CDE. Це означає, що елементи ∆ABE і ∆CDE: AE = CE, BE = DE і при цьому вони співмірні частини AC і BD. Властивість доведено.
Особливості суміжних кутів
У суміжних сторін сума кутів дорівнює 180°, оскільки вони лежать по одну сторону паралельних ліній і січною. Для чотирикутника ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Властивості бісектриси:
- бісектриси, опущені на одну сторону, є перпендикулярними;
- противолежащие вершини мають паралельні бісектриси;
- трикутник, отриманий проведенням бісектриси, буде рівнобедреним.
Визначення характерних рис паралелограма по теоремі
Ознаки цієї фігури випливають з її основної теореми, яка говорить наступне: чотирикутник вважається паралелограмом в тому випадку, якщо його діагоналі перетинаються, а ця точка поділяє їх на рівні відрізки.
Доказ: нехай у т. Е прямі AC і BD чотирикутника ABCD перетинаються. Оскільки ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (за першою ознакою рівності трикутників). Тобто ∠EAD = ∠ECB. Вони також є внутрішніми перехресними кутами січної AC для прямих AD і BC. Таким чином, за визначенням паралельності — AD || BC. Аналогічну властивість ліній BC і CD виводиться також. Теорема доведена.
Обчислення площі фігури
Площа цієї фігури знаходиться кількома методами, одним з найпростіших: множення висоти і підстави, до якого вона проведена.
Доказ: проведемо перпендикуляри BE і CF з вершин B і C. ∆ABE і ∆DCF — рівні, оскільки AB = CD і BE = CF. ABCD — рівновеликий з прямокутником EBCF, так як вони складаються і розмірних фігур: SABE і SEBCD, а також SDCF і SEBCD. З цього випливає, що площа цієї геометричної фігури знаходиться так само, як і прямокутника:
SABCD = SEBCF = BE×BC=BE×AD.
Для визначення загальної формули площі паралелограма позначимо висоту як hb, а сторону — b. Відповідно:
Інші способи знаходження площі
Обчислення площі через сторони паралелограма і кут, який вони утворюють, — другий відомий метод.
,
де:
Ѕпр-ма — площа;
a і b — його боку
α — кут між відрізками a і b.
Цей спосіб практично ґрунтується на першому, але у випадку, якщо висота невідома. Перпендикуляр завжди відрізає прямокутний трикутник, параметри якого знаходяться тригонометричними тождествами, тобто 
. Перетворюючи співвідношення, отримуємо 
. У рівнянні першого способу замінюємо висоту цим твором і отримуємо доказ справедливості цієї формули.
Через діагоналі паралелограма і кут, який вони створюють при перетині, можна також знайти площу.
Доказ: AC і BD перетинаючись, утворюють чотири трикутника: ABE, BEC, CDE і AED. Їх сума дорівнює площі цього чотирикутника.
Площа кожного з цих ∆ можна знайти за виразом 
, де a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Оскільки 
, то в розрахунках використовується єдине значення синуса. Тобто 
. Оскільки AE+CE=AC= d1 і BE+DE=BD= d2, формула площі зводиться до:
.
Застосування векторної алгебри
Особливості складових частин цього чотирикутника знайшли застосування векторної алгебри, а саме: складання двох векторів. Правило паралелограма стверджує, що якщо задані вектори 
і 
не колінеарні, то їх сума буде дорівнює діагоналі цієї фігури, підстави якої відповідають цим векторам.
Доказ: з довільно вибраного початку — т. о. — будуємо вектори 
і 
. Далі будуємо паралелограм ОАСВ, де відрізки OA і OB — сторони. Таким чином, ОС лежить на векторі 
або сумі 
.
Формули для обчислення параметрів паралелограма
Тотожності наведені при наступних умовах:
- a і b, α — сторони і кут між ними;
- d1 і d2 , γ — діагоналі кута в точці їх перетину;
- ha і hb — висоти, опущені на сторони a і b;
| Параметр | Формула |
| Знаходження сторін | |
| по діагоналях і косинусу кута між ними | 
|
| по діагоналях і стороні | 
|
| через висоту і протилежну вершину | 
|
| Знаходження довжини діагоналей | |
| по сторонах і величиною вершини між ними | 
|
| по сторонах і однієї з діагоналей | 
|
| Знаходження периметра | |
| через сторони |  |
| по діагоналях і стороні |  |
| по стороні, куті між ними і висоті | 
|
| Обчислення площі | |
| при відомих сторонах і перпендикуляру з вершини |  |
| по сторонах і куті, який вони створюють |  |
| по діагоналях і куті, який вони створюють |  |
Важливо! Способів обчислення параметрів цієї фігури значно більше, однак, майже всі з них випливають або з її властивостей, або перетворюються один з одного.
Геометрія 8 клас. Паралелограм, властивості паралелограма
Ознаки паралелограма
Висновок
Паралелограм як одна з ключових фігур геометрії знаходить застосування в житті, наприклад, в будівництві при підрахунку площі ділянки або інших вимірів. Тому знання про відмітні ознаки і способи обчислення різних його параметрів можуть стати в нагоді в будь-який момент життя.
