З такою формою як трапеція, ми зустрічаємося в житті досить часто. Наприклад, будь-міст, який виконаний з бетонних блоків, є яскравим прикладом. Більш наочним варіантом можна вважати рульове управління кожного транспортного засобу та інше. Про властивості фігури було відомо ще в Стародавній Греції, що більш детально описав Аристотель у своїй науковій праці «Начала». І знання, виведені тисячі років тому, актуальні й сьогодні. Тому ознайомимося з ними більш детально.
Основні поняття
Малюнок 1. Класична форма трапеції.
Трапеція по своїй суті є чотирикутником, що складається з двох відрізків які паралельні, і двох інших, які не паралельні. Говорячи про цю постать завжди необхідно пам’ятати про такі поняття як: підстави, висота і середня лінія. Два відрізки чотирикутника які паралельні один одному називаються підставами (відрізки AD і BC). Висотою називають відрізок, перпендикулярний кожному з підстав (EH), тобто перетинаються під кутом 90° (як це показано на рис.1).
Якщо скласти всі градусні заходи внутрішніх кутів, то сума кутів трапеції дорівнює 2π (360°), як і у будь-якого чотирикутника. Відрізок, кінці якого є серединами боковин (IF) називають середньою лінією. Довжина цього відрізка становить суму підстав BC і AD поділену на 2.
Існує три види геометричної фігури: пряма, звичайна і равнобокая. Якщо хоч один кут при вершинах підстави прямий (наприклад, якщо ABD=90°), то такий чотирикутник називають прямою трапецією. Якщо бічні відрізки рівні (AB і CD), то вона називається равнобедренной (відповідно кути при підставах рівні).
Як знайти площу
Для того, щоб знайти площу чотирикутника ABCD користуються наступною формулою:
Малюнок 2. Рішення задачі на пошук площі
Для більш наочного прикладу розв’яжемо легку задачу. Наприклад, нехай верхнє і нижнє підстави дорівнюють по 16 і 44 см відповідно, а бічні сторони – 17 і 25 див. Побудуємо перпендикулярний відрізок з вершини D таким чином, щоб DE II BC (як це зображено на рисунку 2). Звідси отримуємо, що
Нехай DF – буде заввишки. З ΔADE (який буде равнобоким), отримаємо наступне:
Тобто, висловлюючись простою мовою, ми спочатку знайшли висоту ΔADE, яка за сумісництвом є і висотою трапеції. Звідси обчислимо за вже відомою формулою площу чотирикутника ABCD, з уже відомим значенням висоти DF.
Звідси, шукана площа ABCD дорівнює 450 см3. Тобто можна з упевненістю сказати, що для того, щоб обчислити площу трапеції потрібно тільки сума підстав і довжина висоти.
Важливо! При вирішенні завдання не обов’язково знайти значення довжин окремо, цілком допускається, якщо будуть застосовані і інші параметри фігури, які при відповідному доказі будуть рівні сумі підстав.
Види трапецій
В залежності від того, які сторони має фігура, які кути утворені при підставах, виділяють три види чотирикутника: прямокутна, разнобокая і равнобокая.
Разнобокая
Існує дві форми: гострокутний і тупоугольная. ABCD остроугольна тільки в тому випадку, коли кути при підставі (AD) гострі, а довжини сторін різні. Якщо величина одного кута число Пі/2 (градусна міра більш 90°), то отримаємо тупоугольную.
Якщо боковини по довжині рівні
Малюнок 3. Вид равнобокой трапеції
Якщо непаралельні сторони рівні по довжині, тоді ABCD називається равнобокой (правильної). При цьому у такого чотирикутника градусна міра кутів при підставі однакова, їх кут буде завжди менше прямого. Саме з цієї причини равнобедренная ніколи не ділиться на гострокутні і тупоугольные. Чотирикутник такої форми має свої специфічні відмінності, до числа яких відносять:
- Відрізки, що з’єднують протилежні вершини рівні.
- Гострі кути при більшому підставі становлять 45° (наочний приклад на малюнку 3).
- Якщо скласти градусні заходи протилежних кутів, то в сумі вони будуть давати 180°.
- Навколо будь-якої правильної трапеції можна побудувати окружність.
- Якщо скласти градусну міру протилежних кутів, то вона дорівнює π.
Більш того, в силу свого геометричного розташування точок існують основні властивості равнобедренной трапеції:
- Якщо діагоналі перетинаються під кутом, то половина суми підстав дорівнює довжині висоти.
- У разі, коли в правильну трапецію побудована, або може бути побудована, коло, квадрат висоти дорівнює добутку величин підстав.
- Вісь симетрії і середня лінія трапеції є одним і тим же ГМТ.
- Коли діагоналі перетинаються під прямим кутом, тоді для обчислення площі знадобиться формула:
- Коло вписане у трапецію, робить величину середньої лінії дорівнює бічній.
Значення кута при основі 90°
Перпендикулярність бічної сторони підстави — змістовна характеристика поняття «прямокутна трапеція». Двох бічних сторін з кутами при підставі бути не може, бо інакше це буде вже прямокутник. У чотирикутники такого типу друга бічна сторона завжди буде утворювати гострий кут з великою підставою, а з меншим — тупий. При цьому, перпендикулярна сторона також буде і висотою.
Відрізок між серединами боковин
Якщо з’єднати середини бічних сторін, і отриманий відрізок буде паралельний підстав, і дорівнює по довжині половині їх суми, то утворена пряма буде середньою лінією. Значення цієї відстані обчислюється за формулою:
Для більш наочного прикладу розглянемо задачу з застосуванням середньої лінії.
Завдання. Середня лінія трапеції дорівнює 7 см, відомо, що одна із сторін більше іншого на 4 см (рис.4). Знайти довжини підстав.
Малюнок 4. Рішення задачі на пошук довжин підстав
Рішення. Нехай менше підставу DC буде дорівнює x см, тоді більша підстава буде дорівнювати відповідно (x+4) див. Звідси, використовуючи формулу середньої лінії трапеції отримаємо:
Виходить, що менше підставу DC дорівнює 5 см, а більша дорівнює 9 див.
Важливо! Поняття середньої лінії є ключовим при вирішенні багатьох задач з геометрії. На підставі її визначення, будуються багато доказів для інших фігур. Використовуючи поняття на практиці, можливо більш раціональне рішення і пошук необхідної величини.
Визначення висоти, і способи, як її знайти
Як вже зазначалося раніше, висота являє собою відрізок, який перетинає основи під кутом 2пі/4 і є найкоротшим відстанню між ними. Перед тим як знайти висоту трапеції, слід визначитися, які дані вхідні значення. Для кращого розуміння розглянемо задачу. Знайти висоту трапеції за умови, що підстави дорівнюють 8 і 28 см, бічні сторони 12 і 16 см відповідно.
Малюнок 5. Рішення задачі на пошук висоти трапеції
Рішення:
Проведемо відрізки DF і CH під прямими кутами до основи AD.Згідно з визначенням, кожен з них буде заданою висотою трапеції (рис.5). В такому випадку, знаючи довжину кожної боковини, за допомогою теореми Піфагора, знайдемо чому дорівнює висота в трикутниках AFD і BHC.
Сума відрізків AF і HB дорівнює різниці підстав, тобто:
Нехай довжина AF буде дорівнювати x см, тоді довжина відрізка HB= (20 – x)див. Як було встановлено, DF=CH , звідси .
Тоді отримаємо наступне рівняння:
Виходить, що відрізок AF у трикутнику AFD дорівнює 7,2 см, звідси обчислимо за тією ж теоремою Піфагора висоту трапеції DF:
Тобто висота трапеції ADCB буде дорівнює 9,6 див. Як можна переконатися, що обчислення висоти — процес більше механічний, і ґрунтується на обчисленнях сторін і кутів трикутників. Але, в ряді завдань з геометрії, можуть бути відомі тільки градуси кутів, у такому випадку обчислення будуть проводитися через співвідношення внутрішніх сторін трикутників.
Важливо! В сутності трапецію часто розглядають як два трикутника, або як комбінацію прямокутника та трикутника. Для вирішення 90% всіх завдань, що зустрічаються в шкільних підручниках, властивості та ознаки цих фігур. Більшість формул, для цього ГМТ, виведені покладаючись на «механізми» для зазначених двох типів фігур.
Як швидко обчислити довжину підстави
Перед тим, як знайти основа трапеції необхідно визначити, які параметри вже дано, і як їх раціонально використовувати. Практичним підходом є витяг довжини невідомого підстави з формули середньої лінії. Для більш ясного сприйняття картинки покажемо на прикладі задачі, як це можна зробити. Нехай відомо, що середня лінія трапеції дорівнює 7 см, а одна з підстав 10 див. Знайти довжину другої основи.
Рішення: Знаючи, що середня лінія дорівнює половині суми основ, можна стверджувати, що їх сума дорівнює 14 див.
(14 см = 7 см × 2). З умови задачі, ми знаємо, що одне з дорівнює 10 см, звідси менша сторона трапеції дорівнює 4 см (4 см = 14 – 10).
Більш того, для більш комфортного вирішення задач подібного плану, рекомендуємо добре вивчити такі формули з області трапеції як:
- середня лінія;
- площа;
- висота;
- діагоналі.
Знаючи суть (саме суть) цих обчислень можна без особливої праці дізнатися шукане значення.
Відео: трапеція та її властивості
Відео: особливості трапеції
Висновок
З розглянутих прикладів завдань можна зробити висновок, що трапеція, у плані обчислення завдань, є однією з найпростіших фігур геометрії. Для успішного вирішення завдань насамперед не варто визначитися з тим, яка інформація відома про описуємо об’єкті, в яких формулах їх можна застосувати, і визначитися з тим, що потрібно знайти. Виконуючи цей простий алгоритм, жодна завдання із застосуванням цієї геометричної фігури не складе зусиль.
