З поняттям піраміда учні стикаються ще задовго до вивчення геометрії. Виною всьому знамениті великі єгипетські чудеса світу. Тому, починаючи вивчення цього чудового багатогранника, більшість учнів вже наочно представляють її собі. Всі вищезазначені пам’ятки мають правильну форму. Що таке правильна піраміда, і які властивості вона має і піде мова далі.
Визначення
Визначень піраміди можна зустріти досить багато. Починаючи ще з давніх часів, вона користувалася великою популярністю.
Приміром, Евклід визначав її як тілесну фігуру, яка складається з площин, які, починаючи від одного, сходяться в певній точці.
Герон представив більш точне формулювання. Він наполягав на тому, що це фігура, яка має основу і площини у вигляді трикутників, сходяться в одній точці.
Спираючись на сучасне тлумачення, піраміду уявляють, як просторовий многогранник, який складається з певного k-кутника і k плоских фігур трикутної форми, що має одну спільну точку.
Розберемося детальніше, з яких елементів вона складається:
- k-косинець вважають основою фігури;
- фігури 3-вугільної форми виступають гранями бічної частини;
- верхня частина, з якої беруть початок бічні елементи, називають вершиною;
- всі відрізки, що з’єднують вершини, називають ребрами;
- якщо з вершини на площину фігури опустити пряму під кутом в 90 градусів, то її частина, ув’язнена у внутрішньому просторі — висота піраміди;
- в кожному бічному елементі до сторони нашого багатогранника можна провести перпендикуляр, званий апофемой.
Число ребер обчислюється за формулою 2*k, де k – кількість сторін k-кутника. Скільки граней у такого многогранника, як піраміда, можна визначити за допомогою виразу k+1.
Важливо! Пірамідою правильної форми називають стереометрическую фігуру, площину основи якої є k-кутник з рівними сторонами.
Основні властивості
Правильна піраміда має безліччю властивостей, які притаманні тільки їй. Перерахуємо їх:
- Основа – фігура правильної форми.
- Ребра піраміди, що обмежують бічні елементи, мають рівні числові значення.
- Бічні елементи – рівнобедрені трикутники.
- Підстава висоти фігури потрапляє в центр багатокутника, при цьому він одночасно є центральною точкою вписаного й описаного кіл.
- Всі бічні ребра нахилені до площини основи під однаковим кутом.
- Всі бічні поверхні мають однаковий кут нахилу по відношенню до основи.
Завдяки всім перерахованим властивостям, виконання обчислень елементів набагато спрощується. Виходячи з наведених властивостей, звертаємо увагу на два ознаки:
- У тому випадку, коли багатокутник вписується в коло, бічні грані будуть мати з основою рівні кути.
- При описі окружності близько багатокутника, всі ребра піраміди, що виходять з вершини, будуть мати рівну довжину і рівні кути з основою.
В основі лежить квадрат
Правильна чотирикутна піраміда – многогранник, у якого в основі лежить квадрат.
У неї чотири бічні грані, які за своїм виглядом є равнобедренными.
На площині квадрат зображують паралелограмом, але ґрунтуються на всі властивості правильного чотирикутника.
Приміром, якщо необхідно пов’язати сторону квадрата з його діагоналлю, то використовують наступну формулу: діагональ дорівнює добутку сторони квадрата на корінь квадратний з двох.
В основі лежить правильний трикутник
Правильна трикутна піраміда – многогранник, в основі якого лежить правильний 3-косинець.
Якщо основа є правильним трикутником, а бічні ребра дорівнюють ребрах підстави, то така фігура називається тетраедром.
Усі грані тетраедра є рівносторонніми 3-косинцями. В даному випадку необхідно знати деякі моменти і не витрачати на них час при обчисленнях:
- кут нахилу ребер до будь основи дорівнює 60 градусів;
- величина всіх внутрішніх кутів граней також становить 60 градусів;
- будь-яка межа може виступити основою;
- висоти, проведені всередині фігури, це рівні елементи.
Перерізу многогранника
У будь-якому багатограннику розрізняють кілька видів перерізу площиною. Найчастіше в шкільному курсі геометрії працюють з двома:
- осьове;
- паралельне основі.
Осьовий переріз отримують при перетині многогранника площиною, яка проходить через вершину, бічні ребра і вісь. В даному випадку віссю є висота, проведена з вершини. Січна площина обмежується лініями перетину з усіма гранями, в результаті отримуємо трикутник.
Увага! У правильній піраміді осьовим перерізом є рівнобедрений трикутник.
Якщо січна площина проходить паралельно основі, то в результаті отримуємо другий варіант. У цьому випадку маємо в розрізі фігуру, подібну основі.
Наприклад, якщо в основі лежить квадрат, то перетин паралельно основі, також буде квадратом, тільки менших розмірів.
При вирішенні завдань при такій умові використовують ознаки і властивості подібності фігур, засновані на теоремою Фалеса. В першу чергу необхідно визначити коефіцієнт подібності.
Якщо площина проведена паралельно основі, і вона відсікає верхню частину багатогранника, то в нижній частині отримують правильну усічену піраміду. Тоді кажуть, що основи усіченого багатогранника є подібними багатокутниками. У цьому випадку бічні грані є равнобокими трапеціями. Осьовим перерізом також є равнобокая трапеція.
Для того щоб визначити висоту усіченого багатогранника, необхідно провести висоту в осьовому перерізі, тобто в трапеції.
Площі поверхонь
Основні геометричні завдання, які доводиться вирішувати в шкільному курсі геометрії, це знаходження площ поверхні та об’єму у піраміди.
Значення площі поверхні розрізняють двох видів:
- площі бічних елементів;
- площі всієї поверхні.
З самої назви зрозуміло, про що йде мова. Бічна поверхня включає в себе тільки бічні елементи. З цього випливає, що для її знаходження потрібно просто скласти площі бічних площин, тобто площі рівнобедрених 3-косинців. Спробуємо вивести формулу площі бічних елементів:
- Площа рівнобедреного 3-кутника дорівнює Ѕтр=1/2(aL), де а – сторона основи, L – апофема.
- Кількість бічних площин залежить від виду k-го косинця в підставі. Наприклад, правильна чотирикутна піраміда має чотири бічні площини. Отже, необхідно скласти площі чотирьох фігур Ѕбок=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4а*L. Вираз спрощено такий спосіб тому, що значення 4а=Росн, де Росн – периметр основи. А вираз 1/2*Росн є її полупериметром.
- Отже, робимо висновок, що площа бічних елементів правильної піраміди дорівнює добутку полупериметра основи на апофему: Ѕбок=Росн*L.
Площа повної поверхні піраміди складається з суми площ бічних площин і заснування: Ѕп.п.= Ѕбок+Ѕосн.
Що стосується площі підстави, то тут формула використовується відповідно вигляді багатокутника.
Об’єм правильної піраміди дорівнює добутку площі площині підстави на висоту, розділену на три: V=1/3*Ѕосн*Н, де Н – висота багатогранника.
Що таке правильна піраміди в геометрії
Властивості правильної чотирикутної піраміди
