Найкоротшою системою числення є двійкова. Вона цілком заснована на позиційної формі запису числа. Основною характеристикою вважається принцип подвоєння цифри при виконанні переходу від певної позиції до наступної. З однієї системи числення в іншу можна здійснити переклад як за допомогою спеціальної програми, так і вручну.
Історичне визнання
Поява двійковій СС в історії пов’язано з вченим – математиком В. Р. Лейбніцем. Саме він вперше заговорив про правила виконання операцій з числовими значеннями даного роду. Але спочатку цей принцип залишився незатребуваним. Світове визнання і застосування алгоритм отримав на зорі виникнення обчислювальних машин.
Зручність і нескладність виконання операцій привели до необхідності більш детального вивчення даного підрозділу арифметики, який став незамінним при розвитку комп’ютерної технології з програмним забезпеченням. Вперше такі механізми з’явилися на німецькому і французькому ринках.
Увага! Конкретну точку над перевагою двійкової системи по відношенню десятковій, саме в даній галузі, було поставлено в 1946 році і обґрунтовано у статті А. Бекса, Х. Гольдстайна і Дж.Фон Неймана.
Переклад числа з десяткової системи числення в двійкову.
Особливості двійкової арифметики
Вся двійкова СС заснована на застосуванні лише двох символів, що дуже точно збігаються з особливостями цифрової схеми. Кожен з символів відповідає за певну дію, яка часто передбачає два стану:
- наявність отвору або його відсутність, наприклад, перфокарти або перфострічки;
- на магнітних носіях відповідає за стан намагнічування або розмагнічування;
- за рівнем сигналу, високий або низький.
В науці, в якій застосовується СС, введена певна термінологія, суть її полягає в наступному:
- Біт – це двійковий розряд, який складається з двох складових, що несуть в собі певний сенс. Розміщений зліва, визначається як старший і є пріоритетним, а праворуч – молодшим, який є менш вагомим.
- Байт – це одиниця, яка складається з восьми бітів.
Багато модулі сприймають і обробляють інформацію порціями або словами. Кожне слово має різну вагу і може складатися з 8-ми, 16-ти або 32-х бітів.
Правила перекладів з однієї системи в іншу
Одним з найважливіших факторів арифметики машин є переклад з однієї СС в іншу. Тому звернемо увагу на основні алгоритми виконання процесу, який покаже, як перевести число в двійкову систему.
Переводимо десяткову систему в двійкову
Спочатку звернемося до питання, як здійснити переклад з десяткової системи в двійкову систему числення. Для цього існує правило перекладу з десяткових чисел у двійковий код, який передбачає математичні дії.
Потрібно число, записане в десятковому вигляді розділити на 2. Поділ виконувати до тих пір, поки в приватному не залишиться одиниця. Якщо необхідна двійкова система числення переклад здійснюється так:
186:2=93 (ост. 0)
93:2=46 (ост. 1)
46:2=23 (ост. 0)
23:2=11 (ост. 1)
11:2=5 (ост. 1)
5:2=2 (ост. 1)
2:2=1
Після того, як процес поділу закінчений, то одиницю в приватному і всі залишки записуємо послідовно в зворотному порядку поділу. Тобто, 18610=1111010. Правило переведення десяткових чисел у СС треба дотримуватися завжди.
Переклад числа з десяткової системи в двійкову.
Переклад з десяткової СС у вісімкову
Аналогічний процес проводиться при перекладі з десяткової СС в вісімкову. Його ще називають «правилом заміщення». Якщо в попередньому прикладі поділ даних здійснювалося на 2, то тут необхідно ділити на 8. Алгоритм переведення числа X10 у вісімкову складається з наступних кроків:
- Число X10 починають ділити на 8. Отримане приватне беремо для наступного поділу, а залишок записується, як біт молодшого порядку.
- Продовжуємо поділ до тих пір, поки не одержимо результат приватного рівного нулю або залишок, який за своїм значенням менше восьми. При цьому всі залишки записуємо, як молодші порядки біта.
Наприклад, необхідно перевести число 160110 у восьмеричне.
1601:8=200 (ост. 1)
200:8=25 (ост. 0)
25:8=3 (ост. 1)
Отже, отримаємо: 161010=31018.
Переклад з десяткової системи в вісімкову.
Записуємо десяткове число є шістнадцятковим
Переклад з десяткової в шестнадцатиричную СС здійснюється аналогічно з використанням системи заміщення. Але крім цифр застосовують ще й літери латинського алфавіту A, B, C, D, E, F. Де A позначає залишок 10, а F залишок 15. Десяткове число ділять на 16. Приміром, переводимо 10710 в шістнадцяткову:
107:16=6 (ост. 11 – замінюємо В)
6 – менше, ніж шістнадцять. Поділ припиняємо і записуємо 10710=6В16.
Переходимо з іншої системи в двійкову
Наступне питання, як перетворити вісімковій в двійковий запис числа. Переклад чисел з будь-якої системи в двійкову виконується досить просто. Помічником у цій справі виступає таблиця для систем числення.
Важливо! Сам принцип ґрунтується на заміні набору цифр однієї системи на числа інший. Приклад перекладу 247388=1010011101122
Аналогічний відповідь має питання, як перевести з шістнадцятковій в двійкову. Необхідно перетворити кожний символ числа А16 набір символів двійкового числа. Виконати це можна за допомогою поданої таблиці.
| Шістнадцяткова | Двійкова |
| 0 | 0000 |
| 1 | 0001 |
| 2 | 0010 |
| 3 | 0011 |
| 4 | 0100 |
| 5 | 0101 |
| 6 | 0110 |
| 7 | 0111 |
| 8 | 1000 |
| 9 | 1001 |
| A | 1010 |
| B | 1011 |
| C | 1100 |
| D | 1101 |
| E | 1110 |
| F | 1111 |
Наприклад, число А2316=1010000100112.
Переклад чисел у вісімкову і шістнадцяткову систему числення і назад
Переклад між двійковій, вісімковій і шістнадцятковій системою числення
Підсумок
Крім всіх перерахованих систем, існує і четвертинна система, основою якої є цифра 4. Записується вона за допомогою чотирьох символів 0, 1, 2, 3. Приміром 1010=224, а 1510=334.
