У математиці існує кілька різних множин: дійсні, комплексні, цілі, раціональні, ірраціональні, дробові… У нашому повсякденному житті ми найчастіше використовуємо натуральні числа, так як ми стикаємося з ними за рахунку і при пошуку, позначення кількості предметів.
Які числа називаються натуральними
З десяти цифр можна записати абсолютно будь-яку наявну суму класів і розрядів. Натуральними значеннями вважаються ті, які використовуються:
- При рахунку яких-небудь предметів (перший, другий, третій, … п’ятий, … десятий).
- При позначенні кількості предметів (один, два, три…)
N значення завжди цілі і позитивні. Найбільшого N не існує, так як безліч цілих значень не обмежена.
Увага! Натуральні числа виходять при рахунку предметів або при позначенні їх кількості.
Абсолютно будь-яке число може бути розкладено і представлено у вигляді розрядних доданків, наприклад: 8.346.809=8 мільйонів+346 тисяч+809 одиниць.
Безліч N
Безліч N знаходиться в множині дійсних, цілих і позитивних. На схемі множин вони знаходилися одне в одному, так як безліч натуральних є їх частиною.
Безліч натуральних чисел позначається літерою N. Це безліч має початок, але не має кінця.
Ще існує розширене безліч N, де включається нуль.
Найменше натуральне число
У більшості математичних шкіл найменшим значенням N вважається одиниця, так як відсутність предметів вважається порожнечею.
Але в іноземних математичних школах, наприклад у французькій, нуль вважається натуральним. Наявність у ряді нуля полегшує доказ деяких теорем.
Ряд значень N, що включає в себе нуль, називається розширеним і позначається символом N0 (нульовий індекс).
Ряд натуральних чисел
N ряд – це послідовність всіх N сукупностей чисел. Ця послідовність не має кінця.
Особливість натурального ряду полягає в тому, що наступне число буде відрізнятися на одиницю від попереднього, тобто зростати. Але значення не можуть бути від’ємними.
Увага! Для зручності рахунку існують класи і розряди:
- Одиниці (1, 2, 3),
- Десятки (10, 20, 30),
- Сотні (100, 200, 300),
- Тисячі (1000, 2000, 3000),
- Десятки тисяч (30.000),
- Сотні тисяч (800.000),
- Мільйони (4000000) і т. д.
Всі N
Всі N перебувають у множині дійсних, цілих, невід’ємних значень. Вони є їх складовою частиною.
Ці значення йдуть в нескінченність, вони можуть належати класів мільйонів, мільярдів, квінтильйонів і т. д.
Наприклад:
- П’ять яблук, три кошеняти,
- Десять рублів, тридцять олівців,
- Сто кілограмів, триста книг,
- Мільйон зірок, три мільйони осіб і т. д.
Послідовність N
У різних математичних школах можна зустріти два інтервали, яким належить послідовність N:
від нуля до плюс нескінченності, включаючи кінці, і від одиниці до плюс нескінченності, включаючи кінці, тобто всі позитивні цілі відповіді.
N сукупності цифр можуть бути як з парними, так і не парними. Розглянемо поняття непарності.
Непарні (будь-які закінчуються на непарні цифри 1, 3, 5, 7, 9.) при діленні на два мають залишок. Наприклад, 7:2=3,5, 11:2=5,5, 23:2=11,5.
Що значить парні N
Будь-які парні суми класів закінчуються на цифри: 0, 2, 4, 6, 8. При поділі парних N 2, залишку не буде, тобто в результаті виходить цілий відповідь. Наприклад, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.
Важливо! Числовий ряд з N не може складатися тільки з парних або непарних значень, так як вони повинні чергуватися: за парним завжди йде непарне, за ним знову парне і т. д.
Властивості N
Як і всі інші множини, N володіють своїми власними, особливими властивостями. Розглянемо властивості ряду N (не розширеного).
- Значення, яке є самим маленьким і яке не слід ні за яким іншим – це одиниця.
- N являють собою послідовність, тобто одне натуральне значення слід за іншим (крім одиниці – воно перше).
- Коли ми виробляємо обчислювальні операції над N сумами розрядів і класів (складаємо, множимо), то у відповіді завжди виходить натуральне значення.
- При обчисленнях можна використовувати перестановку і поєднання.
- Кожне наступне значення не може бути менше попереднього. Також в N ряді буде діяти такий закон: якщо число А менше В, то в числовому ряді завжди знайдеться, для якого справедливо рівність: А+З=Ст.
- Якщо взяти два натуральних вирази, наприклад А і В, то для них буде справедливо одне з виразів: А=В, А більше, А менше Ст.
- Якщо А менше В, а менше, то звідси випливає, що А менше З.
- Якщо А менше В, то випливає, що якщо додати до них одне і те ж вираз (С), то А+З менше+С. Також справедливо, що якщо ці значення помножити на, то АС менше АВ.
- Якщо більше, але менше, то справедливо:-А менше З-А.
Увага! Всі перераховані вище нерівності дійсні і в зворотному напрямку.
Як називаються компоненти множення
У багатьох простих і навіть складних завданнях знаходження відповіді залежить від уміння школярів множити.
Для того, щоб швидко і правильно множити і вміти розв’язувати зворотні задачі, необхідно знати компоненти множення.
15.10=150. В даному виразі 15 і 10 є множниками, а 150 – твором.
Множення володіє властивостями, які необхідні при вирішенні задач, рівнянь і нерівностей:
- Від перестановки множників кінцеве твір не зміниться.
- Щоб знайти невідомий множник, треба добуток поділити на відомий множник (справедливо для всіх множників).
Наприклад: 15.Х=150. Поділіть твір на відомий множник. 150:15=10. Зробимо перевірку. 15.10=150. За таким принципом вирішуються навіть складні лінійні рівняння (якщо спростити їх).
Важливо! Твір може складатися не тільки з двох множників. Наприклад: 840=2.5.7.3.4
Що таке натуральні числа в математиці?
Розряди і класи натуральних чисел
Висновок
Підведемо підсумки. N використовуються при рахунку або позначенні кількості предметів. Ряд натуральних сукупностей чисел нескінченний, але він включає в себе тільки цілі і позитивні суми розрядів і класів. Множення теж необхідно для того, щоб вважати предмети, а також для рішення задач, рівнянь і різних нерівностей.
