Доказ 1 ознаки
Довгий час серед перших математиків даний ознака вважався аксіомою, однак, як виявилося, його можна геометрично довести, спираючись на базові аксіоми.
Розглянемо два трикутника — KMN і K1M1N1. Сторона КМ має таку ж довжину, як і K1M1, а KN = K1N1. А кут MKN дорівнює кутах KMN і M1K1N1.
Якщо розглядати KM та K1M1, KN і K1N1 як два промені, які виходять з однієї точки, то можна сказати, що між цими парами променів однакові кути (це задано умовою теореми). Здійснимо паралельний перенос променів K1M1 і K1N1 з точки K1 в точку К. Внаслідок цього перенесення промені K1M1 і K1N1 повністю співпадуть. Відкладемо на промені K1M1 відрізок довжиною КМ, що бере свій початок в точці К. Оскільки за умовою отриманий відрізок і буде дорівнює відрізку K1M1 точки М і M1 збігаються. Аналогічно і з відрізками KN і K1N1. Таким чином, переносячи K1M1N1 так, що точки K1 і До збігаються, а дві сторони накладаються, отримуємо повний збіг і самих фігур.
Важливо! В інтернеті зустрічаються докази рівності трикутників по двох сторонах і куту за допомогою алгебраїчних та тригонометричних тотожностей з чисельними значеннями сторін і кутів. Проте історично і математично ця теорема була сформульована задовго до алгебри і раніше, ніж тригонометрії. Для доказу цієї ознаки теореми використовувати що-небудь, крім базових аксіом, некоректно.
