З метою підвищення точності розв’язання практичних завдань, як в будівництві, так і економіці іноді потрібен більш потужний інструмент, який давав би відповідь на нестандартні умови. Наприклад, обчислення площі покриття не традиційної форми (половини параболи), виготовлення конструкцій, що вилучається або забудовуючи площа і багато іншого. Таким інструментом є саме інтеграл, рамки обчислення якого задає сам користувач. Наведемо приклади обчислення визначеного інтеграла з доказом його властивостей,
Значення поняття
Малюнок 1. Загальний вигляд криволінійної трапеції.
Незважаючи на теоретичне обгрунтування, відразу дамо більш чітке поняття цього терміна. Визначеним інтегралом вважається площа криволінійної трапеції, яка за підстави приймає знизу – вісь абсцис, а знизу саму функцію. Більш наочно це зображено на рисунку 1. Таке трактування називається геометричним, і більш зрозуміло, ніж інші.
В більш класичному визначенні, чисельне вираження інтеграла є величина якоїсь первісної на вибраному і обмеженому проміжку (відрізку). На практиці значення такого приросту може бути як більше, так і менше нуля. Щодо значення площі дане питання залежить від того, в якій півплощини знаходиться крива (верхній або нижній), такий і буде знак (на практиці його значення відкидають). У чисельному вираз наше визначення має таку формулу:
Спираючись на вищезгадану формулу можемо стверджувати, що визначений інтеграл являє собою різницю первісної в крайніх точках обраного інтервалу (такий підхід до визначення називають формула Ньютона – Лейбніца).
Властивості інтеграла Рімана на відрізку
Для того, щоб безпомилково знаходити площі «кривих» трапецій, розглянемо основні «прийоми», які суттєво полегшать цей процес.
Основні властивості:
Площа трапеції в окремо взятій точці дорівнює нулю. Формулу можна записати так:
Якщо функція визначена між точками a і b, то справедливо наступне рівність:
Якщо під інтегральні функції w(x) t(x) визначено на відрізку [k;c] і не мають точок розриву, немає таких точок в яких б функції не мали значення, то справедливо рівність:
У разі якщо первісна функція визначена (вычислима в кожній точці) і межі інтегрування лежать на відрізку [k;c], тоді під інтегральну функцію можна записати в наступному вигляді:
Функція j(x) інтегруються на відрізку [a;b], тільки в тому випадку, коли сам відрізок [a;b] належить більшому відрізку [k;c].
Відзначимо, що даний список не включає в себе всі властивості визначеного інтеграла і має продовження. Зазначені «хитрощі» є найбільш поширеними прийомами, однак застосовувати їх потрібно переконавшись в їх «працездатності».
Для більшої наочності знайдемо значення інтеграла, межі інтегрування якого розташовані на відрізку [3;5] для під інтегральної
Рішення. Згідно з умовою задачі, маємо наступну під певну інтегральну функцію на проміжку
Можемо отримати наступне:
Виходить, що площа криволінійної трапеції буде складати …., цілком очевидно, що можна було і відразу взяти визначений інтеграл від заданої функції не вдаючись до використання властивості, однак такий підхід більш точно розкриває можливості одного з властивостей.
Припустимо, що замість функції за змінною x, перебуває 0 (такий варіант теж вважають функцією і збігається з віссю абсцис). Тоді намагаючись знайти визначений інтеграл від постійної отримаємо:
Виходить, що якщо під інтегральної функції стоїть нуль, то й первісна, на якому відрізку не була визначена, теж буде дорівнює нулю.
У випадку, якщо потрібно знайти інтеграл від константи, то таке рішення дає приклад вирішення будь-якого многочлена:
Звідки робимо висновок, що якщо потрібно визначити інтеграл від нуля, то його значення (можна навіть не розписувати) дорівнює нулю, а якщо інтеграл від числа, то різницю між кінцями відрізка потрібно помножити на число під знаком інтеграла.
Важливо! Під час вирішення задач подібного плану, часто доводиться комбінувати зазначені прийоми, для зменшення складності завдання. Але використовуючи такі переходи, не варто забувати, що інтегральна сума завжди повинна збігатися з початковою. Завжди перевіряйте відрізок, на якому збираєтеся інтегрувати, інакше отримане значення буде відрізнятися від дійсного.
«Розумні» визначення інтегрування безперервної функції
Для вдалого пошуку первісної необхідно знання і розуміння таких понять як: інтегральна сума, межі інтегрування і загальне розуміння визначення «інтеграл функції».
Кордону на певному відрізку
Суть цього поняття полягає в тому, що межі інтегрування функції (це той самий відрізок, який заздалегідь визначається), це максимально граничні значення кривої, в яких вона ще «дійсна». Приміром, під наша функція визначена на відрізку від 2 до 4. Це означає, що ми можемо знайти первообразную для функції в точці зі значенням 2.000000001 (практично 2) і 3.9999999 (майже 4), але якщо межі інтегрування більше (менше), то всі подальші значення безглузді. Зобразимо це на малюнку 2, де запропоновані можливі продовження кривої.
Малюнок 2.Можливе поведінка функції за межами інтегрування.
Така вимога до границь випливає з того, що нам не відомо визначена функція за цими межами чи ні. А також те, як вона поведе себе за своїми межами. По суті, функція верхнього підстави говорить про те, як розташовуються точки на зазначеному відрізку (цілком можливо, що за межами це вже буде функція Діріхле, тобто будуть точки розриву). У своїй сутності під поняттям «інтеграл функції» мається на увазі процес пошуку первісної (первородної), з якої ця сама функція при пошуку похідної і вийшла. Ще простіше – дію зворотне пошуку похідної.
Сума
Уявімо, що дана довільна трапеція, верхнє підставу якої довільна крива. Якщо з утвореної фігури, утворити схожі всередині первісної. То отримаємо нескінченну безліч таких трапецій, у кожній з яких функція, що визначає верхню підставу, буде однакова. Далі на кожному нижньому підставі (малі відрізки) візьмемо будь-яку точку, помножимо значення функції в цій самій точці на різницю в основі, то отримаємо площу цієї трапеції. Сума площ усіх цих трапецій, буде дорівнює площі спочатку даної. Це буде інтегральна сума.
Малюнок 3. Сума інтегралів.
Математично це буде виглядати так:
Для більш зрозумілого сприйняття рекомендуємо придивитися до малюнку 3.
Корисне відео: що таке визначений інтеграл?
Корисне відео: як вирішити визначений інтеграл?
Висновок
При вирішенні звичайних задач або прикладів дані визначення рідко мають істотне значення. Але не зайвим буде їх правильне розуміння та застосування перед тим, як почнеться саме рішення. Як правило, визначені інтеграли, що подаються на ЄДІ, всі відповідають даним критерієм. Однак, теорія перевіряється теж, і не варто її відкидати через складність розуміння.
