Початкова геометрія вивчає поняття і співвідношення об’єктів. Без чіткого обґрунтування не можна орієнтуватися в прикладній області. Ознака паралельності прямої і площини – перший крок у геометрію простору. Оволодіння початковими категоріями дозволить наблизитися до захоплюючого світу точності, логіки, ясності.
Співвідношення об’єктів: можливі варіанти
Стереометрія – інструмент пізнання світу. Вона розглядає відношення об’єктів один до одного, вчить обчислювати відстані без лінійки. Успішна практика вимагає оволодіти основними поняттями.
Є поверхня а та лінія l. Є три випадки співвідношення об’єктів. Їх визначають точки перетину. Легко запам’ятати:
- 0 точок — паралельні;
- 1 точка — взаємно перетинаються;
- нескінченно багато — пряма лежить у площині.
Легко описати ознака паралельності об’єктів. На поверхні, а існує лінія з || l, l || а.
Просте заява потребує доведення. Нехай поверхня проведена через лінії: l || c. В Ω = с. Нехай l має з а загальну точку. Вона повинна лежати на с. Це суперечить умові: l || c. Тоді l паралельна площині a. Початкове положення вірно.
Важливо! У просторі існує хоча б одна лінія || плоскій поверхні. Це співзвучно твердженням початкової геометрії (планіметрії).
Проста думка: а належить більше однієї точки l, значить пряма l цілком належить а.
a || l тільки у разі відсутності єдиної точки перетину.
Це логічне визначення паралельності прямої і площини.
Легко знайти практичне застосування положення. Як довести, що одна пряма паралельна площині?
Досить використовувати досліджувана ознака.
Що корисно знати
Для грамотного вирішення задач потрібно вивчити додаткові розташування предметів. Основа — ознака паралельності прямої і площини . Його застосування полегшить розуміння інших елементів. Геометрія простору розглядає приватні випадки.
Перетину в стереометрії
Об’єкти колишні: плоска поверхня а, лінії, l. Як вони сусідять? З || l. L перетинає а. Легко зрозуміти: обов’язково перетне а. Ця думка — лема про перетин площини паралельними прямими.
Поле діяльності розширюється. До досліджуваним об’єктах додається поверхню ст. Їй належить l. У вихідних об’єктах нічого не змінюється: l || а. Знову виходить просто: у разі перетину площин загальна лінія d || l. Відразу випливає поняття: які дві площини називаються перетинаються. Ті, які мають загальну пряму.
Які теореми потрібно вивчити
Головні поняття відношення предметів призводять до опису основних тверджень. Вони вимагають розгорнутого докази. Перша: теореми про паралельність однієї прямої і площини. Розглядаються різні випадки.
- Об’єкти: поверхні P, Q, R, прямі АВ, CD. Умова: P||Q, R їх перетинає. Природно, АВ||CD.
- Предмети дослідження: лінії AB, CD, A1B1, C1D1. AB перетинається з CD в одній площині, A1B1 — з C1D1 в інший. AB||A1B1, CD||C1D1. Висновок: поверхні, що включають пересічні попарно паралельні лінії, ||.
Виникає нове поняття. Мимобіжні прямі не паралельні, хоча лежать у паралельних площинах. Це C1D1 і АВ, А1В1 і CD. Це явище широко застосовується в практичній стереометрії.
Природне заяву: через одну з скрещивающихся ліній реально проходить єдина паралельна зазначеної площину.
- Далі легко прийти до теоремі про сліді. Це третє з тверджень про паралельності прямої і поверхні. Є пряма l. Вона || а. l належить ст. В Ω = d. Єдино можливий варіант: d || l.
Важливо! Пряма і площина називаються || при відсутності загальних об’єктів — точок.
Властивості паралельності і їх докази
Легко прийти до поняття розташування плоских поверхонь:
- пусте безліч спільних точок (називаються паралельними);
- перетинаються по прямій.
У стереометрії знаходять застосування властивостей паралельності. Будь-яка просторова картинка має поверхні та лінії. Для успішного вирішення завдань потрібно вивчити основні теореми:
- Досліджувані об’єкти: a || b; c Ω b = l, c Ω a = m. Висновок: l ||m. Припущення потребує доведення. Розташування l і m одне з двох: перетинаються або паралельні. Але в другому випадку поверхні не мають спільних точок. Тоді l || m. Твердження доведено. Слід запам’ятати: якщо пряма лежить у площині, то вони мають більше однієї точки перетину.
- Є поверхня а, точка А не належить а. Тоді існує тільки одна поверхня b || a, що проходить через А. Довести положення просто . Нехай l Ω m; l, m належать а. Через кожну з них і будується площину. Вона перетинає а. В ній існує лінія, що проходить через А і || а. В точці А вони є пересічними. Вони утворюють єдину поверхню b || a.
- Існують мимобіжні прямі l і m. Тоді є || поверхні а і b, яким належать l і m. Логічно зробити так: на l і m вибрати довільні точки. Провести m1 || m, l1 || l. Пересічні лінія попарно || => a || b. Положення доведено.
Знання властивостей паралельності одній прямій і площині дозволить вміло застосовувати їх на практиці. Прості і логічні докази допоможуть орієнтуватися у захоплюючому світі стереометрії.
Площині: оцінка паралельності
Описати поняття просто. Питання: що значить, одна пряма та площина паралельні, вирішено. Дослідження початкових категорій геометрії простору призвело до більш складного твердженням.
При вирішенні прикладних задач застосовується ознака паралельності. Просте опис: нехай l Ω m, l1 Ω m1, l, m належать а, l1, m1 – b. При цьому l || l1, m || m1. Тоді a || b.
Без застосування математичних символів: площини називаються паралельними, якщо проведені через пересічні попарно паралельні прямі.
Стереометрія розглядає властивості паралельних площин . Їх описують теореми:
Досліджувані об’єкти: a || b, a Ω c = l, b Ω c = m. Тоді l || m. Очевидно доказ. та Прямі лежать в одній площині, якщо вони || або перетинаються. Слід застосувати твердження про паралельності прямої і поверхні. Тоді стає очевидно: перетинатися l і m не можуть. Залишається єдине – l || m.
Наступна теорема описує властивості паралельних площин. Нехай існують деякі поверхні a || b. Їх перетинають прямі l || m. Тоді обмежені a і b відрізки рівні. Доказ випливає з властивості паралельних прямих.
Важливо! Завжди існує пряма, що проходить через дану точку, яка паралельна площині.
Положення в просторі: які паралельні лінії
Легко зрозуміти, які лінії || L ||m, якщо:
- вони належать одній поверхні;
- не мають спільних точок.
Властивості описують теореми:
- У просторі існує довільна точка А. Вона не лежить на прямій l. Тоді через А проходить єдина пряма m || l.
- У просторі є лінії l, m, k. Якщо l || k, m || k => що пряма l || m.
Ознаки паралельності прямої і площини
Паралельність прямої і площини
Висновок
Світ стереометрії сповнений захоплюючих загадок, протиріч. Початкові навички призводять до розуміння складних композицій. Вивчення головних теорем, аксіом служить гімнастикою для розуму. Не варто боятися спеціальних термінів: слід спробувати викласти проблему зрозумілою мовою.
