Як знайти площу і сторону рівностороннього трикутника, вписаного в коло, формула

Рівносторонній трикутник — це найпростіший правильний багатокутник з можливих. При знаходженні його площі виникають приватні варіанти його розрахунку. Важливо знати і розуміти ознаки та властивості цього виду фігур, для більш легкого обчислення цього параметра. Всі методи, представлені нижче, досить прості в застосуванні і не вимагають глибокого осмислення.

Ознаки і властивості фігури

Для того щоб розрахувати його площа необхідно розуміти властивості і ознаки, якими він володіє. Можна виділити наступні основні ознаки цієї фігури:

  • Значення величини його кутів однаково в усіх випадках і дорівнює 60 градусам, незалежно від розміру сторін.
  • Бісектриса, висота і медіана випущені з одного кута будуть збігатися.
  • Будь-яка сторона рівностороннього трикутника дорівнює двом іншим.
  • Центр правильного трикутника буде центром для вписаного і описаного кола.
  • Є окремим випадком рівнобедреного трикутника.

Важливо! Якщо хоча б один з цих ознак дотримується, отже, трикутник є рівностороннім.

Рівносторонній трикутник

Додатково цей окремий випадок фігури володіє наступними властивостями:

  • Середня лінія, яка ділить дві бокові сторони навпіл, дорівнює половині підстави, паралельно якому вона знаходиться.
  • Сума всіх кутів не перевищує 180 градусів.
  • Радіус вписаного кола розраховується по наступній формулі: r = , а описаної відповідно до виразу R = .
  • Радіус описаної окружності в правильному трикутнику в 2 рази більше радіуса вписаного.

Розрахунок через сторону

Існує безліч способів розрахунку площі цієї фігури. Всі вони мають свої переваги і недоліки. Застосовуються в залежності від умов, представлених задачі. Найбільш популярний спосіб знайти шукане значення для рівностороннього трикутника обчислюється через твір половини сторін і синуса кута між ними, виглядає це наступним чином: , де a і b – сторони, α – кут між ними.

У випадку з рівностороннім, цей спосіб спрощується в значній мірі. Для цього потрібно звернутися до розглянутих вище ознаками і властивостями. Виходячи з того, що всі кути цієї фігури рівні і дорівнюють 60 градусам. Синус 60 градусів, згідно таблиці Брадіса, дорівнює , перетворивши вихідне вираз отримуємо наступне значення: .

Дивіться також:  Визначити в теорії визначені інтеграли: функції, межі інтегрування та властивості з доказом

Враховуючи те, що всі сторони цієї фігури рівні, то перетворене вираз дасть такий результат: .

Дана формула відмінно підійде у випадку, якщо відома величина боку цієї фігури. У такому вигляді обчислювати цей показник набагато легше і швидше.

Ті, хто пам’ятає формула Герона, знають, як знайти площу цієї фігури. У процесі перетворення вираз зміниться в представлене вище. Площа цієї фігури за Герону розраховується так: , де, a, b, c —сторони, а p — півпериметр (). Перетворюється даний вираз досить просто. Необхідно підставити замість значення p розрахунок полупериметра і поступово почати скорочувати вираз. Суму сторін можна представити у вигляді суми трьох однакових сторін і довести скорочення до кінця. Математично це виглядає так:

;

;

;

.

Отримана формула площі і представлені нижче функції можуть бути використані тільки у випадку, якщо фігура є правильною, в іншому випадку не буде давати правильну відповідь.


Обчислення площі трикутника за його боці

Розрахунок по висоті

Знайти площу рівностороннього трикутника можна також, якщо відома його висота і сторона. Половина довжини висоти множиться на бік, може бути обрана будь-яка висота і сторона, адже згідно властивостям, вони всі однакові: , де a – це довжина сторони. Її легко запам’ятати, однак, на практиці вона застосовується досить рідко.

Якщо в задачі вказана інформація про те, що трикутник є рівностороннім і відома величина висоти. А чому дорівнює довжина сторони невідомо, то можна скористатися формулою, що дозволяє її розрахувати. Знайти сторону можна розділивши подвійну величину висоти на корінь квадратний з трьох, математично виглядає наступним чином: . Після цього застосовується формула площі, де розрахунки здійснюються через сторону, вона описана в попередньому пункті.

Для того щоб не робити зайвих розрахунків можна вивести формулу цього показника відразу ж через висоту. Квадрат висоти ділиться на корінь квадратний з трьох. Вона буде виглядати так: . В цьому випадку можна не застосовувати формулу рівнобедреного трикутника через бік.

Дивіться також:  Функції і властивості натуральних логарифмів: область визначення, графік


Обчислення площі трикутника за його боці і висоті

Розрахунок через колу

В математиці популярний також прийом розрахунку, що розглядається в статті, значення через приміщення фігури у коло або навпаки. Така окружність називається описаною. Якщо вона знаходиться всередині, то вона називається вписаною. Саме в цьому розділі виникає більшість питань, як знайти площу рівностороннього багатокутника з трьома кутами.

Описана окружність обов’язково має проходити через усі вершини, вписана повинна проходити через сторони тільки в одній точці по дотичній.


Креслення рівностороннього трикутника, описаного або вписаного в окружність

Якщо в умові задачі дано радіус вписаного і описаного кола, то з них можна скласти вираз, так як разом вони дадуть сумарну довжину висоти. Як розраховується площа за її допомогою, показано вище: h = R + r .

Перетворивши формулу , застосувавши розрахунок висоти h = R + r, можна отримати наступне значення: . Дану формулу можна спростити ще більше, адже радіус описаної окружності можна виразити через радіус вписаного. Згідно з властивостями цих кіл R = 2r, де r — це радіус вписаного кола, R — це радіус описаної. Відповідно площа правильного трикутника буде вираховуватися так: .

Якщо ж буде дано розмір радіусу описаного кола, то вираз буде виглядати наступним чином: .

Використання цих властивостей в нагоді для розрахунку боку фігури. Для того щоб її знайти можна скористатися виразом для описаної окружності, і для вписаною.

Враховуючи радіус описаної окружності можна знайти шукане значення за допомогою зведення боку в куб, після чого результат ділиться на радіус, збільшений у 4 рази. Математично можна записати наступним чином: .

Процес розрахунку, чому дорівнює показник площі рівностороннього трикутника через яку з запропонованих формул не повинен викликати особливих труднощів. Для того щоб успішно впоратися з цим завданням не потрібно запам’ятовувати всі зазначені способи, досить запам’ятати основні загальні формули розрахунку, а також властивості та ознаки цієї фігури.

Дивіться також:  Властивості і формула трикутника, вписаного в окружність: як знайти коло, обчислення площі та радіуса

Увага! Для перевірки правильності розрахунків можна скористатися кількома способами, результати повинні співпасти.

Площа рівностороннього трикутника

Площа рівностороннього трикутника, вписаного в окружність



Застосувавши логічне мислення, розрахунки з легкістю перетворюються на приватні випадки, яких набагато більше. Недоцільно забивати голову великою кількістю нерелевантної інформації, краще розвивати причинно-наслідковий зв’язок для перетворення виразів.