Властивості і формула трикутника, вписаного в окружність: як знайти коло, обчислення площі та радіуса

В сучасному машинобудуванні використовується маса елементів і запчастин, які мають у своїй структурі як зовнішні кола, так і внутрішні. Самим яскравим прикладом можуть служити корпус підшипника, деталі моторів, вузли маточини і багато іншого. При їх виготовленні застосовуються не тільки високотехнологічні пристрої, але і знання з геометрії, зокрема інформація про окружностях трикутника. Більш детально з подібним знаннями познайомимося нижче.

Яка вписана окружність, а яка описана

Перш за все згадаємо, що окружністю називається нескінченну безліч точок, віддалених на однаковій відстані від центру. Якщо всередині многокутника допускається побудувати окружність, яка з кожною стороною буде мати тільки одну спільну точку перетину, то вона буде називатися вписаною. Описаної окружністю (не коло, це різні поняття) називається таке геометричне місце точок, при якому у побудованої фігури з заданим гратки загальними точками будуть тільки вершини многокутника. Ознайомимося з цими двома поняттями на більш наочному прикладі (див. рис 1.).

Малюнок 1. Вписана і описана кола трикутника

На зображенні побудовані дві постаті великого і малого діаметрів, центри яких знаходяться G і I. Коло більшого значення називається описаною дкр-ма Δ ABC, а малого – навпаки, вписаної в Δ ABC.

Для того щоб описати навколо трикутника дкр-ть, потрібно провести через середину кожної сторони перпендикулярну пряму (тобто під кутом 90°) – це точка перетину, вона відіграє ключову роль. Саме вона буде представляти собою центр описаного кола. Перед тим як знайти окружність, її центр у трикутник, потрібно побудувати для кожного кута биссектрису, після чого виділити точку перетину прямих. Вона в свою чергу буде центром вписаного дкр-ти, а її радіус при будь-яких умовах буде перпендикулярний будь-якої із сторін.

На питання:«Яка кількість вписаних кіл може бути для багатокутника з трьома кутами?» відповімо відразу, що в будь-який трикутник можна вписати коло і притому тільки одну. Тому що існує лише одна точка перетину всіх бісектрис і одна точка перетину перпендикулярів, що виходять з середин сторін.

Властивість кола, якій належать вершини трикутника

Описана окружність, яка залежить від довжин сторін при основі, має свої властивості. Зазначимо властивості описаної окружності:

  1. Центр описаного кола для прямокутного трикутника знаходиться на середині гіпотенузи, у гострого – всередині самого трикутника, а для тупоугольного – за її межами.
  2. Діаметр будь описаної дкр-сті дорівнює половині відносини боку і синуса кута, який належить їй, у вигляді формули можна представити наступним чином:
  3. Знаючи радіус описаної окружності і значення кутів, можна знайти значення площі, не вдаючись до використання довжин сторін, за наступною формулою:
Дивіться також:  Паралелограм: властивості та ознаки, площа, діагональ, правило для сторін і формула для суми кутів

Для того щоб більш наочно зрозуміти принцип описаної окружності, вирішимо просту задачу. Припустимо, що даний трикутник Δ ABC, сторони якого дорівнюють 10, 15 і 8,5 див. Радіус описаної окружності близько трикутника (FB) становить 7,9 див. Знайти значення градусної заходів кожного кута і через них площа трикутника.

Малюнок 2. Пошук радіусу кола через відношення сторін і синусів кутів

Рішення: спираючись на раніше наведену теорему синусів, знайдемо значення синуса кожного кута окремо. За умовою відомо, що сторона АВ дорівнює 10 див. Обчислимо значення:

Використовуючи значення таблиці Брадіса, дізнаємося, що градусна міра кута дорівнює 39°. Таким же методом знайдемо й інші заходи кутів:

Звідки дізнаємося, що CAB = 33°, а ABC = 108°. Тепер, знаючи значення синусів кожного з кутів і радіус, знайдемо площу, підставляючи знайдені значення:

Відповідь: площа трикутника дорівнює 40,31 см2, а кути дорівнюють відповідно 33°, 108° і 39°.

Важливо! Вирішуючи завдання подібного плану, буде незайвим завжди мати таблиці Брадіса або відповідний додаток на смартфоні, так як вручну процес може затягнутися на тривалий час. Також для більшої економії часу не вимагається обов’язково будувати всі три середини перпендикуляра або три бісектриси. Кожна третя з них завжди буде перетинатися в точці перетину двох перших. А для ортодоксального побудови зазвичай третю домальовують. Може, це неправильно в питанні алгоритму, але на ЄДІ або інших іспитах це здорово економить час.

Обчислення радіуса вписаного кола

Всі точки кола однаково віддалені від центру на однаковій відстані. Довжину цього відрізка (від і до) називають радіусом. В залежності від того, яку дкр-ть ми маємо, розрізняють два види – внутрішній і зовнішній. Кожен з них обчислюється за власною формулою і має пряме відношення до обчислення таких параметрів, як:

  • площа;
  • градусна міра кожного кута;
  • довжини сторін і периметр.
Дивіться також:  Ознаки і властивості паралельності прямої і площини – що це означає: визначення, лема про перетин

Малюнок 3. Розташування вписаного кола всередині трикутника

Обчислити довжину відстані від центру до точки дотику з будь-якої з сторін можна такими способами: через боку, висоти, бічні сторони і кути (для равнобокого трикутника).

Використання полупериметра

Полупериметром називається половина суми довжин всіх сторін. Такий спосіб вважається самим популярним і універсальним, бо незалежно від того, який тип трикутника дано по умові, він підходить для всіх. Порядок обчислення має наступний вигляд:

Якщо дан «правильний»

Одним з переваг малих «ідеального» трикутника є те, що вписана і описана кола мають центр в одній точці. Це зручно при побудові фігур. Однак у 80% випадків відповідь виходить «негарним». Тут мається на увазі, що дуже рідко радіус вписаного дкр-ти буде цілим натуральним числом, швидше навпаки. Для спрощеного обчислення використовується формула радіуса вписаного кола в трикутник:

Якщо боковини однакової довжини

Одним з різновидів завдань на державних іспитах буде знаходження радіуса вписаного кола трикутника, дві сторони якого рівні між собою, а третя немає. У такому випадку рекомендуємо використовувати цей алгоритм, який дасть відчутну економію часу на пошук діаметра вписаною дкр-ти. Радіус вписаного кола в трикутник з рівними «бічними» обчислюється за формулою:

Більш наочне застосування зазначених формул продемонструємо на наступній задачі. Нехай маємо трикутник (Δ HJI), в який вписана дкр-ть в точці K. Довжина сторони HJ = 16 см, JI = 9,5 см і сторона HI дорівнює 19 см (малюнок 4). Знайти радіус вписаного дкр-ти, знаючи сторони.

Малюнок 4. Пошук значення радіуса вписаного кола

Рішення: для знаходження радіусу вписаного дкр-ти знайдемо півпериметр:

Звідси, знаючи механізм обчислення, дізнаємося наступне значення. Для цього знадобляться довжини кожної з сторін (дано по умові), а також половину периметра, виходить:

Звідси випливає, що шуканий радіус дорівнює 3,63 див. Згідно з умовою, всі сторони рівні, тоді шуканий радіус дорівнює:

За умови, якщо багатокутник равнобокий (наприклад, i = h = 10 см, j = 8 см), діаметр внутрішньої дкр-ти з центром у точці K буде дорівнює:

Дивіться також:  Теорема про три перпендикулярах: доказ зворотного, що таке перпендикулярність, завдання з рішенням

В умові задачі може даватися трикутник з кутом 90°, в такому випадку запам’ятовувати формулу немає необхідності. Гіпотенуза трикутника дорівнює діаметру. Більш наочно це виглядає так:

Важливо! Якщо задана завдання на пошук внутрішнього радіуса, рекомендуємо проводити обчислення через значення синусів і косинусів кутів, табличне значення яких точно не відомо. У разі, якщо інакше дізнатися довжину неможливо, не намагайтеся витягнути з-під кореня. У 40% завдань отримане значення буде трансцендентним (тобто нескінченним), а комісія може не зарахувати відповідь (навіть якщо він буде правильним) з-за його неточності або неправильної форми подачі. Особливу увагу приділіть тому, як може видозмінюватися формула радіуса описаного кола трикутника в залежності від запропонованих даних. Такі «заготовки» дозволяють заздалегідь «бачити» сценарій розв’язання задачі і вибрати найбільш економне рішення.

Радіус внутрішнього кола і площа

Для того щоб обчислити площу трикутника, вписаного в коло, використовують лише радіус і довжини сторін многокутника:

Якщо в умові задачі безпосередньо не дано значення радіуса, а тільки площу, то зазначена формула площі трансформується в наступну:

Розглянемо дію останньої формули на більш конкретному прикладі. Припустимо, що даний трикутник, в який вписана дкр-ть. Площа дкр-ти становить 4π, а сторони рівні відповідно 4, 5 і 6 див. Обчислимо площу заданої фігури за допомогою обчислення полупериметра.

Використовуючи вищезгаданий алгоритм, обчислимо площу трикутника через радіус вписаного кола:

В силу того, що в будь-який трикутник можна вписати коло, число варіацій знаходження площі значно збільшується. Тобто пошук площі трикутника, включає в себе обов’язкове знання довжини кожної сторони, а також значення радіуса.

Трикутник, вписаний в коло геометрія 7 клас

Прямокутні трикутники, вписані у коло

Висновок

З наведених формул можна переконатися, що складність будь-якої задачі з використанням вписаного й описаного кіл полягає тільки в додаткових дії з пошуку необхідних значень. Завдання такого типу потребують тільки досконально розуміння суті формул, а також раціональності їх застосування. З практики вирішення зазначимо, що в майбутньому центр описаного кола буде фігурувати і в подальших темах геометрії, тому запускати її не слід. В іншому випадку рішення може затягтися з використанням зайвих ходів і логічних висновків.