Паралелограм: властивості та ознаки, площа, діагональ, правило для сторін і формула для суми кутів

Як в евклідової геометрії точка і пряма — головні елементи теорії площин, так і паралелограм є однією з ключових фігур опуклих чотирикутників. З нього, як нитки з клубка, течуть поняття «прямокутника», «квадрата», «ромби» і інших геометричних величин.

Визначення паралелограма

 Опуклий чотирикутник, що складається з відрізків, кожна пара з яких паралельна, відомий в геометрії як паралелограм.

Як виглядає класичний паралелограм зображує чотирикутник ABCD. Сторони називаються підставами (AB, BC, CD і AD), перпендикуляр, проведений з будь-якої вершини на протилежну цій вершині бік, — висотою (BE і BF), лінії AC і BD — діагоналями.

   

Увага! Квадрат, ромб і прямокутник — це окремі випадки паралелограма.

Сторони і кути: особливості співвідношення

 Ключові властивості, за великим рахунком, зумовлені самим позначенням, їх доводить теорему. Ці характеристики наступні:

  1. Сторони, які є протилежними, — попарно однакові.
  2. Кути, розташовані протилежно один одному — попарно рівні.

Доказ: розглянемо ∆ABC і ∆ADC, які утворюються внаслідок поділу чотирикутника ABCD прямої AC. ∠BCA=∠CAD і ∠BAC=∠ACD, оскільки AC для них загальна (вертикальні кути для BC||AD і AB||CD, відповідно). З цього випливає: ∆ABC = ∆ADC (друга ознака рівності трикутників).

Відрізки AB і BC у ∆ABC попарно відповідають лініям CD і AD в ∆ADC, що означає їх тотожність: AB = CD, BC = AD. Таким чином, ∠B відповідає ∠D і вони рівні. Оскільки ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, які так само попарно однакові, то ∠A = ∠C. Властивість доведено.

Характеристики діагоналей фігури

 Основний ознака цих ліній паралелограма: точка перетину поділяє їх навпіл.

Доказ: нехай т. Е — це точка перетину діагоналей AC і BD фігури ABCD. Вони утворюють два сумірних трикутника — ∆ABE і ∆CDE.

Дивіться також:  Визначити в теорії визначені інтеграли: функції, межі інтегрування та властивості з доказом

AB=CD, так як вони протилежні. Згідно з правилом паралельних прямих і січній, ∠ABE = ∠CDE і ∠BAE = ∠DCE.

За другою ознакою рівності ∆ABE = ∆CDE. Це означає, що елементи ∆ABE і ∆CDE: AE = CE, BE = DE і при цьому вони співмірні частини AC і BD. Властивість доведено.

Особливості суміжних кутів

 У суміжних сторін сума кутів дорівнює 180°, оскільки вони лежать по одну сторону паралельних ліній і січною. Для чотирикутника ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Властивості бісектриси:

  1. бісектриси, опущені на одну сторону, є перпендикулярними;
  2. противолежащие вершини мають паралельні бісектриси;
  3. трикутник, отриманий проведенням бісектриси, буде рівнобедреним.

Визначення характерних рис паралелограма по теоремі

Ознаки цієї фігури випливають з її основної теореми, яка говорить наступне: чотирикутник вважається паралелограмом в тому випадку, якщо його діагоналі перетинаються, а ця точка поділяє їх на рівні відрізки.

Доказ: нехай у т. Е прямі AC і BD чотирикутника ABCD перетинаються. Оскільки ∠AED = ∠BEC, а AE+CE=AC BE+DE=BD, то ∆AED = ∆BEC (за першою ознакою рівності трикутників). Тобто ∠EAD = ∠ECB. Вони також є внутрішніми перехресними кутами січної AC для прямих AD і BC. Таким чином, за визначенням паралельності — AD || BC. Аналогічну властивість ліній BC і CD виводиться також. Теорема доведена.

Обчислення площі фігури

 Площа цієї фігури знаходиться кількома методами, одним з найпростіших: множення висоти і підстави, до якого вона проведена.

Доказ: проведемо перпендикуляри BE і CF з вершин B і C. ∆ABE і ∆DCF — рівні, оскільки AB = CD і BE = CF. ABCD — рівновеликий з прямокутником EBCF, так як вони складаються і розмірних фігур: SABE і SEBCD, а також SDCF і SEBCD. З цього випливає, що площа цієї геометричної фігури знаходиться так само, як і прямокутника:

Дивіться також:  Правила округлення чисел після коми: як правильно округляти до одиниць, сотих, тисячних і цілих

SABCD = SEBCF = BE×BC=BE×AD.

Для визначення загальної формули площі паралелограма позначимо висоту як hb, а сторону — b. Відповідно:

Інші способи знаходження площі

 Обчислення площі через сторони паралелограма і кут, який вони утворюють, — другий відомий метод.

,

де:

Ѕпр-ма — площа;

a і b — його боку

α — кут між відрізками a і b.

Цей спосіб практично ґрунтується на першому, але у випадку, якщо висота невідома. Перпендикуляр завжди відрізає прямокутний трикутник, параметри якого знаходяться тригонометричними тождествами, тобто . Перетворюючи співвідношення, отримуємо . У рівнянні першого способу замінюємо висоту цим твором і отримуємо доказ справедливості цієї формули.

Через діагоналі паралелограма і кут, який вони створюють при перетині, можна також знайти площу.

Доказ: AC і BD перетинаючись, утворюють чотири трикутника: ABE, BEC, CDE і AED. Їх сума дорівнює площі цього чотирикутника.

Площа кожного з цих ∆ можна знайти за виразом , де a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Оскільки , то в розрахунках використовується єдине значення синуса. Тобто . Оскільки AE+CE=AC= d1 і BE+DE=BD= d2, формула площі зводиться до:

.

Застосування векторної алгебри

 Особливості складових частин цього чотирикутника знайшли застосування векторної алгебри, а саме: складання двох векторів. Правило паралелограма стверджує, що якщо задані вектори і не колінеарні, то їх сума буде дорівнює діагоналі цієї фігури, підстави якої відповідають цим векторам.

Доказ: з довільно вибраного початку — т. о. — будуємо вектори і . Далі будуємо паралелограм ОАСВ, де відрізки OA і OB — сторони. Таким чином, ОС лежить на векторі або сумі .

Формули для обчислення параметрів паралелограма

Тотожності наведені при наступних умовах:

  1. a і b, α — сторони і кут між ними;
  2. d1 і d2 , γ — діагоналі кута в точці їх перетину;
  3. ha і hb — висоти, опущені на сторони a і b;
Дивіться також:  Теорема про три перпендикулярах: доказ зворотного, що таке перпендикулярність, завдання з рішенням
Параметр Формула
Знаходження сторін
по діагоналях і косинусу кута між ними  

по діагоналях і стороні  

через висоту і протилежну вершину  

Знаходження довжини діагоналей
по сторонах і величиною вершини між ними  

по сторонах і однієї з діагоналей  

Знаходження периметра
через сторони  
по діагоналях і стороні  
по стороні, куті між ними і висоті  

Обчислення площі
при відомих сторонах і перпендикуляру з вершини  
по сторонах і куті, який вони створюють  
по діагоналях і куті, який вони створюють  

Важливо! Способів обчислення параметрів цієї фігури значно більше, однак, майже всі з них випливають або з її властивостей, або перетворюються один з одного.

Геометрія 8 клас. Паралелограм, властивості паралелограма

Ознаки паралелограма

Висновок

Паралелограм як одна з ключових фігур геометрії знаходить застосування в житті, наприклад, в будівництві при підрахунку площі ділянки або інших вимірів. Тому знання про відмітні ознаки і способи обчислення різних його параметрів можуть стати в нагоді в будь-який момент життя.