Логарифмом числа b за основою а називається показник ступеня, у яку треба звести число а щоб одержати число b.

Якщо , то .

Логарифм — вкрай важлива математична величина, оскільки логарифмічний обчислення дозволяє не тільки вирішувати показові рівняння, але і оперувати з показниками, диференціювати показникові та логарифмічні функції, інтегрувати їх і приводити до більш прийнятного увазі, що підлягає розрахунку.

Властивості логарифмів

Всі властивості логарифмів безпосередньо пов’язані з властивостями показових функцій. Наприклад, той факт, що означає, що:

.

Слід зауважити, що при вирішенні конкретних завдань, властивості логарифмів можуть виявитися більш важливими і корисними, ніж правила роботи зі ступенями.

Наведемо деякі тотожності:

;

;

.

Наведемо основні алгебраїчні вирази:

;

;

;

.

Увага! може існувати тільки при x>0, x≠1, y>0.

Постараємося розібратися з питанням, що таке натуральні логарифми. Окремий інтерес до математики представляють два види — перший має в підставі число «10», і носить назву «десятковий логарифм». Другий називається натуральним. Підстава натурального логарифма — число «е». Саме про нього ми і будемо детально говорити в цій статті.

Позначення:

• lg x — десятковий;
• ln x — натуральний.

Використовуючи тотожність можна побачити, що ln e = 1, як і те, що lg 10=1.

Графік натурального логарифма

Побудуємо графік натурального логарифма стандартним класичним способом по точкам. При бажанні, перевірити чи правильно ми будуємо функцію, можна за допомогою дослідження функції. Однак, є сенс навчиться будувати його «вручну», щоб знати, як правильно порахувати логарифм.

Функція: y = ln x. Запишемо таблицю точок, через які пройде графік:

х	у
1
е	1
е2≈7,34	2
	0,5
e-1≈0.36	-1

Пояснимо, чому ми вибрали саме такі значення аргументу х. вся справа в тотожність: . Для натурального логарифма це тотожність буде виглядати таким чином:

.

Для зручності ми можемо взяти п’ять опорних точок:

;

;

;

;

.

Як порахувати логарифми від цих п’яти значень? Дуже просто, адже:

;

;

;

;

;

.

Таким чином, підрахунок натуральних логарифмів — досить складне заняття, більше того, він спрощує підрахунки операцій зі ступенями, перетворюючи їх у звичайне множення.

Побудувавши по точках графік, отримуємо приблизний графік:

Область визначення натурального логарифма (тобто всі допустимі значення аргументу Х) — всі числа, більші нуля.

Увага! В область визначення натурального логарифма входять тільки позитивні числа! В область визначення не входить х=0. Це неможливо виходячи з умов існування логарифма .

Область значень (тобто всі допустимі значення функції y = ln x) — всі числа в інтервалі .

Межа натурального log

Вивчаючи графік, виникає питання — як веде себе функція y при<0.

Очевидно, що прагне графік функції перетинає вісь у, але не зможе цього зробити, оскільки натуральний логарифм при х<0 не існує.

Увага! При прагненні до нуля аргументу, функція y = ln x прагне до (мінус нескінченності).

Межа натурального log можна записати таким чином:

Формула заміни основи логарифма

Мати справу з натуральним логарифмом набагато простіше, ніж з логарифмом, що мають довільне основу. Саме тому спробуємо навчитися приводити будь-логарифм до натурального, виражати його по довільному основи через натуральні логарифми.

Почнемо з логарифмічного тотожності:

.

Тоді будь-яке число, або змінну у можна представити у вигляді:

,

де х — будь-яке число (додатне згідно властивостям логарифма).

Цей вираз можна прологарифмировать з обох сторін. Зробимо це за допомогою довільного підстави z:

.

Скористаємося властивістю (тільки замість «с» у нас вираз):

Звідси отримуємо універсальну формулу:

.

Зокрема, якщо z=e, то тоді:

.

Нам вдалося представити логарифм за безпідставного основи через відношення двох натуральних логарифмів.

Вирішуємо завдання

Для того щоб краще орієнтуватися в натуральних логарифмах, розглянемо приклади декількох завдань.

Завдання 1. Необхідно розв’язати рівняння ln x = 3.

Розв’язання: Використовуючи означення логарифма: якщо , то , отримуємо:

.

Завдання 2. Розв’яжіть рівняння (5 + 3 * ln (x — 3)) = 3.

Розв’язання: Використовуючи означення логарифма: якщо , то , отримуємо:

.

Тоді:

.

.

Ще раз застосуємо визначення логарифма:

.

Таким чином:

.

Можна наближено обчислити відповідь, а можна залишити його в такому вигляді.

Завдання 3. Розв’яжіть рівняння .

Рішення: Зробимо підстановку t = ln x. Тоді рівняння прийме наступний вигляд:

.

Перед нами квадратне рівняння. Знайдемо його дискриминант:

.

Перший корінь рівняння:

.

Другий корінь рівняння:

.

Згадуючи про те, що ми виробляли підстановку t = ln x, отримуємо:

.

Використовуючи означення логарифма: якщо , то , отримуємо обидва кореня:

.

Згадаймо, що область визначення: . Обидва кореня більше нуля, так що обидва рішення вірні і підходять.

Увага! Коли в логарифмічних рівняннях у вас виходить два кореня або більше, не забувайте про область визначення. Аргумент, що стоїть під логарифмом ніколи не може бути менше нуля. Якщо одне з рішень робить вираз під логарифмом менше або рівним нулю — такий корінь вам не підходить, виключіть його.

Цікаві відомості

Логарифми (особливо натуральні і десяткові) широко застосовуються майже у всіх сферах діяльності.

Наприклад, в теорії простих чисел, кількість простих чисел в інтервалі від 0 до n буде дорівнює приблизно: , при цьому s-е просте число приблизно буде дорівнювати .

В математичному аналізі, як ми вже переконалися раніше, натуральні логарифми зустрічаються часто-густо, при цьому вони об’єднують тригонометричні та логарифмічні функції за допомогою інтегралів, наприклад інтеграл від тангенса:

.

В статистиці та теорії ймовірностей логарифмічні величини зустрічаються дуже часто. Це не дивно, адже число е — найчастіше відображає темп зростання експоненціальних величин.

У інформатики, програмування та теорії обчислювальних машин, логарифми зустрічаються досить часто, наприклад для того щоб зберегти в пам’яті натуральне число N знадобиться бітів.

В теорії фракталів та розмірностях логарифми використовуються постійно, оскільки розмірності фракталів визначаються тільки з їх допомогою.

У механіці та фізиці немає такого розділу, де не використовувалися логарифми. Барометричний розподіл, всі принципи статистичної термодинаміки, рівняння Ціолковського та інше — процеси, які математично можна описати лише за допомогою логарифмування.

У хімії логарифмування використовують рівняння Нернста, описах окислювально-відновних процесів.

Вражаюче, але навіть в музиці, з метою дізнатися кількість частин октави, використовують логарифми.

Натуральний логарифм Функція y=ln x, її властивості

Доказ основного властивості натурального логарифма