Логарифмом числа b за основою а називається показник ступеня, у яку треба звести число а щоб одержати число b.
Якщо , то
.
Логарифм — вкрай важлива математична величина, оскільки логарифмічний обчислення дозволяє не тільки вирішувати показові рівняння, але і оперувати з показниками, диференціювати показникові та логарифмічні функції, інтегрувати їх і приводити до більш прийнятного увазі, що підлягає розрахунку.
Властивості логарифмів
Всі властивості логарифмів безпосередньо пов’язані з властивостями показових функцій. Наприклад, той факт, що означає, що:
.
Слід зауважити, що при вирішенні конкретних завдань, властивості логарифмів можуть виявитися більш важливими і корисними, ніж правила роботи зі ступенями.
Наведемо деякі тотожності:
;
;
.
Наведемо основні алгебраїчні вирази:
;
;
;
.
Увага! може існувати тільки при x>0, x≠1, y>0.
Постараємося розібратися з питанням, що таке натуральні логарифми. Окремий інтерес до математики представляють два види — перший має в підставі число «10», і носить назву «десятковий логарифм». Другий називається натуральним. Підстава натурального логарифма — число «е». Саме про нього ми і будемо детально говорити в цій статті.
Позначення:
- lg x — десятковий;
- ln x — натуральний.
Використовуючи тотожність можна побачити, що ln e = 1, як і те, що lg 10=1.
Графік натурального логарифма
Побудуємо графік натурального логарифма стандартним класичним способом по точкам. При бажанні, перевірити чи правильно ми будуємо функцію, можна за допомогою дослідження функції. Однак, є сенс навчиться будувати його «вручну», щоб знати, як правильно порахувати логарифм.
Функція: y = ln x. Запишемо таблицю точок, через які пройде графік:
х | у |
1 | |
е | 1 |
е2≈7,34 | 2 |
![]() |
0,5 |
e-1≈0.36 | -1 |
Пояснимо, чому ми вибрали саме такі значення аргументу х. вся справа в тотожність: . Для натурального логарифма це тотожність буде виглядати таким чином:
.
Для зручності ми можемо взяти п’ять опорних точок:
;
;
;
;
.
Як порахувати логарифми від цих п’яти значень? Дуже просто, адже:
;
;
;
;
;
.
Таким чином, підрахунок натуральних логарифмів — досить складне заняття, більше того, він спрощує підрахунки операцій зі ступенями, перетворюючи їх у звичайне множення.
Побудувавши по точках графік, отримуємо приблизний графік:
Область визначення натурального логарифма (тобто всі допустимі значення аргументу Х) — всі числа, більші нуля.
Увага! В область визначення натурального логарифма входять тільки позитивні числа! В область визначення не входить х=0. Це неможливо виходячи з умов існування логарифма .
Область значень (тобто всі допустимі значення функції y = ln x) — всі числа в інтервалі .
Межа натурального log
Вивчаючи графік, виникає питання — як веде себе функція y при<0.
Очевидно, що прагне графік функції перетинає вісь у, але не зможе цього зробити, оскільки натуральний логарифм при х<0 не існує.
Увага! При прагненні до нуля аргументу, функція y = ln x прагне до (мінус нескінченності).
Межа натурального log можна записати таким чином:
Формула заміни основи логарифма
Мати справу з натуральним логарифмом набагато простіше, ніж з логарифмом, що мають довільне основу. Саме тому спробуємо навчитися приводити будь-логарифм до натурального, виражати його по довільному основи через натуральні логарифми.
Почнемо з логарифмічного тотожності:
.
Тоді будь-яке число, або змінну у можна представити у вигляді:
,
де х — будь-яке число (додатне згідно властивостям логарифма).
Цей вираз можна прологарифмировать з обох сторін. Зробимо це за допомогою довільного підстави z:
.
Скористаємося властивістю (тільки замість «с» у нас вираз
):
Звідси отримуємо універсальну формулу:
.
Зокрема, якщо z=e, то тоді:
.
Нам вдалося представити логарифм за безпідставного основи через відношення двох натуральних логарифмів.
Вирішуємо завдання
Для того щоб краще орієнтуватися в натуральних логарифмах, розглянемо приклади декількох завдань.
Завдання 1. Необхідно розв’язати рівняння ln x = 3.
Розв’язання: Використовуючи означення логарифма: якщо , то
, отримуємо:
.
Завдання 2. Розв’яжіть рівняння (5 + 3 * ln (x — 3)) = 3.
Розв’язання: Використовуючи означення логарифма: якщо , то
, отримуємо:
.
Тоді:
.
.
Ще раз застосуємо визначення логарифма:
.
Таким чином:
.
Можна наближено обчислити відповідь, а можна залишити його в такому вигляді.
Завдання 3. Розв’яжіть рівняння .
Рішення: Зробимо підстановку t = ln x. Тоді рівняння прийме наступний вигляд:
.
Перед нами квадратне рівняння. Знайдемо його дискриминант:
.
Перший корінь рівняння:
.
Другий корінь рівняння:
.
Згадуючи про те, що ми виробляли підстановку t = ln x, отримуємо:
.
Використовуючи означення логарифма: якщо , то
, отримуємо обидва кореня:
.
Згадаймо, що область визначення: . Обидва кореня більше нуля, так що обидва рішення вірні і підходять.
Увага! Коли в логарифмічних рівняннях у вас виходить два кореня або більше, не забувайте про область визначення. Аргумент, що стоїть під логарифмом ніколи не може бути менше нуля. Якщо одне з рішень робить вираз під логарифмом менше або рівним нулю — такий корінь вам не підходить, виключіть його.
Цікаві відомості
Логарифми (особливо натуральні і десяткові) широко застосовуються майже у всіх сферах діяльності.
Наприклад, в теорії простих чисел, кількість простих чисел в інтервалі від 0 до n буде дорівнює приблизно: , при цьому s-е просте число приблизно буде дорівнювати
.
В математичному аналізі, як ми вже переконалися раніше, натуральні логарифми зустрічаються часто-густо, при цьому вони об’єднують тригонометричні та логарифмічні функції за допомогою інтегралів, наприклад інтеграл від тангенса:
.
В статистиці та теорії ймовірностей логарифмічні величини зустрічаються дуже часто. Це не дивно, адже число е — найчастіше відображає темп зростання експоненціальних величин.
У інформатики, програмування та теорії обчислювальних машин, логарифми зустрічаються досить часто, наприклад для того щоб зберегти в пам’яті натуральне число N знадобиться бітів.
В теорії фракталів та розмірностях логарифми використовуються постійно, оскільки розмірності фракталів визначаються тільки з їх допомогою.
У механіці та фізиці немає такого розділу, де не використовувалися логарифми. Барометричний розподіл, всі принципи статистичної термодинаміки, рівняння Ціолковського та інше — процеси, які математично можна описати лише за допомогою логарифмування.
У хімії логарифмування використовують рівняння Нернста, описах окислювально-відновних процесів.
Вражаюче, але навіть в музиці, з метою дізнатися кількість частин октави, використовують логарифми.
Натуральний логарифм Функція y=ln x, її властивості
Доказ основного властивості натурального логарифма