Бісектриса трикутника: її властивості та формула, як позначається і яка довжина

Бісектриса трикутника – поширене геометричне поняття, яке не викликає особливих труднощів у вивченні. Володіючи знаннями про її властивості, з вирішенням багатьох завдань можна впоратися без особливої праці. Що таке бісектриса? Спробуємо ознайомити читача з усіма секретами цієї математичної прямій.

Суть поняття

Найменування поняття пішло від використання слів латиною, значення яких полягає «бі» — два, «сектио» — розрізати. Вони конкретно вказують на геометричний зміст поняття – розбивання простору між променями на дві рівні частини.

Бісектриса трикутника – відрізок, який бере початок з вершини фігури, а інший кінець розміщений на стороні, яка розташована напроти нього, при цьому ділить простір на дві однакові частини.

Багато педагогів для швидкого асоціативного запам’ятовування учнями математичних понять користуються різною термінологією, яка відображена у віршах або асоціаціях. Звичайно, використовувати таке визначення рекомендується для дітей старшого віку.

Як позначається ця пряма? Тут спираємося на правила позначення відрізків або променів. Якщо мова йде про позначенні бісектриси кута трикутної фігури, то зазвичай її записують як відрізок, кінці якого є вершиною і точкою перетину з протилежною вершині стороною. Причому початок позначення записується саме з вершини.

Увага! Скільки бісектрис має трикутник? Відповідь очевидна: стільки ж, скільки вершин, – три.

Властивості

Крім визначення, у шкільному підручнику можна знайти не так вже багато властивостей даного геометричного поняття. Перше властивість бісектриси трикутника, з яким ознайомлюють школярів, – центр вписаного кола, а друге, безпосередньо пов’язане з ним, – пропорційність відрізків. Суть полягає в наступному:

  1. Яка б не була делящая пряма, на ній розташовані точки, які знаходяться на однаковій відстані від сторін, які складають простір між променями.
  2. Для того щоб вписати в трикутну фігуру окружність, необхідно визначити точку, в якій будуть перетинатися ці відрізки. Це і є центральна точка кола.
  3. Частини боку трикутної геометричної фігури, на які розбиває її делящая пряма, знаходяться в пропорційній залежності від утворюють кут сторін.
Дивіться також:  Правильна піраміда це: площа підстави, межі, властивості і апофема трикутної та чотирикутної

Постараємося привести в систему інші особливості та уявити додаткові факти, які допоможуть глибше пізнати достоїнства цього геометричного поняття.

Довжина

Одним із видів завдань, які викликають утруднення у школярів, є знаходження довжини бісектриси кута трикутника. Перший варіант, в якому знаходиться її довжина, містить такі дані:

  • величина простору між променями, з вершини якого виходить даний відрізок;
  • довжини сторін, які утворюють цей кут.

Для вирішення поставленої задачі використовується формула, сенс якої полягає в знаходженні відносини збільшеної у 2 рази твори значень сторін, що складають кут, косинус його половини до суми сторін.

Розглянемо на конкретному прикладі. Припустимо, дана фігура АВС, в якій відрізок проведено з кута А і перетинає сторону ВС у точці К. Значення А позначимо Y. Виходячи з цього, АК = (2*АВ*АС*cos(Y/2))/(АВ+АС).

Другий варіант завдання, в якому визначається довжина бісектриси трикутника, містить такі дані:

  • відомі значення всіх сторін фігури.

При вирішенні задачі такого типу спочатку визначаємо півпериметр. Для цього необхідно додати значення всіх сторін і розділити навпіл: р=(АВ+ВС+АС)/2. Далі застосовуємо обчислювальну формулу, за допомогою якої визначалася довжина цього відрізка у попередній задачі. Необхідно лише внести деякі зміни в суть формули у відповідності з новими параметрами. Отже, необхідно знайти відношення збільшеного в два рази кореня другого ступеня з добутку довжин сторін, які прилягають до вершини, на півпериметр і на різницю полупериметра і довжини противолежащей йому сторони до суми сторін, що складають кут. Тобто АК=(2٦АВ*АС*р*(р-ВР))/(АВ+АС).

Увага! Щоб легше засвоїти матеріал, можна звернутися до наявних в Інтернеті жартівливим казкам, що оповідають про «пригоди» цієї прямої.

Приватні випадки

Бісектриса прямокутного трикутника має всі загальні властивості. Але слід зазначити приватний випадок, який притаманний тільки їй: при перетині відрізків, основи яких є вершинами гострих кутів прямокутного трикутника, між променями виходить 45 град.

Дивіться також:  Функції і властивості натуральних логарифмів: область визначення, графік

Бісектриса рівнобедреного трикутника також має свої особливості:

  • Якщо основа цього відрізка – вершина, противолежащая основи, то вона є і висотою, і медіаною.
  • Якщо відрізки проведені з вершин кутів при основі, то їх довжини рівні між собою.

Урок геометрії, вивчаємо властивості бісектриси

Властивості бісектриси трикутника